Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

teoriya_veroyatnostey.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

3.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 6. Числовые характеристики случайных величин

§1. Математическое ожидание случайной величины

Определение. Математическим ожиданием Mξ дискретной случайной вели-

чины ξ называется выражение, вычисляемое по формуле:

Mξ = ∑xi pi ,	(6.1.1)
i

где x1 ,x2 ,... — значения случайной величины, p1 , p2 ,... — соответствующие им вероятно-
сти, которые определяются равенством pi			= P(ξ = xi ).
Для существования математического ожидания необходимо, чтобы ряд (6.1.1) схо-
дился абсолютно, т.е.
∑	xi	pi < ∞ ,	(6.1.2)

в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Пример 1. Пусть ξ — случайная величина, равная числу выпавших очков при бросании игрального кубика. Найти математическое ожидание случайной величины ξ .

Решение. Случайная величина ξ имеет следующий ряд распределения:

xi		1		2		3				4			5		6
Pi			1		1		1					1		1		1
Pi		6		6		6				6			6		6
		6		6		6				6			6		6
Применяя формулу (6.1.1), получим
Mξ =	1	(1+ 2 +3 + 4 +5 + 6)=						21	=	7	.
Mξ =	6	(1+ 2 +3 + 4 +5 + 6)=						6	=	2	.
	6							6		2

Таким образом, математическое ожидание числа выпавших очков при бросании игрального кубика равно 3,5 . z

Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины ξ — число успе-

хов в схеме Бернулли.

Решение. Как известно, распределение случайной величины ξ задается форму-

лой
P(ξ = i)= Сni pi qn−i ,	(i =1,...,n)

где p — вероятность «успеха», q =1− p , n — количество испытаний в схеме Бернулли. Используя формулу (6.1.1), получим

n	n		n	n!	n	(n −1)!
Mξ = ∑ipn (i)= ∑iСni pi qn−i = ∑i				n!	pi qn−i = ∑np	(n −1)!	pi−1qn−i =
Mξ = ∑ipn (i)= ∑iСni pi qn−i = ∑i				i! (n −i)!	pi qn−i = ∑np	(i −1)! (n −i)!	pi−1qn−i =
i=0	i=0		i=0	i! (n −i)!	i=1	(i −1)! (n −i)!
n−1		n−1	(i)= np.
= np∑Сni −1 pi qn−1−i		= np∑pn−1	(i)= np.
i=0		i=0

Таким образом, математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли равно

np . z

Определение. Математическим ожиданием Mξ непрерывной случайной вели-

чины ξ называется интеграл:

Mξ = +∞∫хр(х)dх.

(6.1.3)

−∞

Условием существования математического ожидания непрерывной случайной ве-

личины является абсолютная сходимость интеграла

+∞

∫

р( х)dх < ∞.

(6.1.4)

−∞

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины ξ , плотность ко-

торой имеет вид:

x [a,b],

p(x)

b − a

x [a,b].

Решение: Используя (6.1.3), получим

Mξ = +∞∫хр( х)dх = ∫a

dx =

a +b

. z

−∞

b b − a

Пример 4. Найти математическое ожидание случайной величины ξ , плотность ко-

торой имеет вид:

p(x)

−

( x−m )2

, x (− ∞; ∞).

2σ 2

σ 2π

Решение.

Используя (6.1.3), получим

+∞

e−

( x−m )2

Mξ = ∫xp( x )dx = ∫

dx .

(6.1.5)

2σ 2

−∞

−∞σ

2π

Делаем замену t =

x −m

или x = m +tσ . В этом случае (6.1.5) примет вид:

+∞

t 2

+∞

t 2

+∞

t 2

+∞

t 2

+∞

−

t 2

∫

t σ

+ m

e−

dt =

∫

−

dt + ∫

e−

dt =

∫te−

dt + m ∫

dt . (6.1.6)

−∞

2π

−∞

2π

−∞

2π

−∞

2π

Первое слагаемое равно нулю, т.к. равен нулю интеграл

+∞

t 2

∞

∫te

−

dt = −e−

= 0 .

−∞

Интеграл во втором слагаемом равен 1, т.к. этот интеграл равен функции распреде-

ления нормального закона с параметрами (0,1)

при значении аргумента равным x = +∞,

т.е.

+∫∞

e−

t 2

dt = Φ(+ ∞)=1.

−∞

2π

Таким образом, математическое ожидание равно Mξ = m . z

Пример 5. Случайная величина ξ имеет плотность Коши:

p(x)

x (−∞;+∞).

(6.1.7)

π(1+ x2 )

Проверить, имеет ли случайная величина ξ математическое ожидание.

Решение. Проверим условие (6.1.4) существования математического ожидания

+∞∫

р( х)dх = +∞∫

dx = ∞.

−∞π(1

+ x

)

−∞

Математическое ожидание случайной величины ξ , имеющей плотность Коши, не существует, т.к. условие существования математического ожидания не выполнено. z

§2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания

Пусть η = f (ξ) — функция от случайной величины. Определим математическое ожидание Mη = Mf (ξ). Это возможно сделать двумя способами. Первый способ состоит в том, что сначала строится распределение случайной величины η , затем уже находим Mη . Мы рассмотрим другой способ. Пусть сначала ξ — дискретная случайная величина, при-

нимающая значения x1 ,...,xn . Тогда случайная величина η = f (ξ) принимает значения
f (x1 ),..., f (xn ) с теми же вероятностями pi	= P(ξ = xi )= P(f (ξ)= f (xi )). В этом случае
математическое ожидание определяется по формуле
n
Mξ = Mf (ξ)= ∑ f (xi )pi .	(6.2.1)

i=1

Вслучае, если случайная величина ξ принимает счетное число значений, то математическое ожидание случайной величины ξ определяется по формуле

∞
Mη = Mf (ξ)= ∑ f (xi )pi .	(6.2.2)

i=1

При этом условие существования математического ожидания (6.1.4) примет вид:

∑\| f (xi )\| pi < ∞.			(6.2.3)
i
Пример 6. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:

ξ	4	16	100
P	0,7	0,1	0,2

Найти математическое ожидание математической величины: η = ξ + ξ .

Решение. Для решения задачи применим формулу (6.2.1).

Mη = M (ξ + ξ )= ∑3 (X i + X i )pi =

i=1

=0,7 (4 + 4 )+ 0,1(16 + 16 )+ 0,2 (100 + 100 )= 4,2 + 2 + 22 = 28,2.

Таким образом, математическое ожидание математической величины η = ξ + ξ равно 28,2. z

Пусть ξ — непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения pξ (x). Пусть функция y = f (x) непрерывная (за исключением, быть может, счетного чис-

ла точек). Тогда математическое ожидание случайной величины η = f (ξ) определяется по формуле

Mη = Mf (ξ)= +∞∫ f (x)pξ (x)dx .

(6.2.4)

−∞

Условие существования математического ожидания случайной величины η = f (ξ)

имеет вид:

+∞∫

f (x)

pξ (x)dx < ∞ .

(6.2.5)

−∞

Пример 7. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами

(0,1), т.е. ее плотность имеет вид:

e−

p(x)=

, x (−∞;+ ∞).

2π

Найти математическое ожидание случайной величины η = aξ +b .

Решение. Используя формулу (6.2.4), получаем:

+∞

e−

+∞

e−

+∞

e−

Mη = ∫(xa +b)

dx = a ∫

dx +b ∫

= a 0 +b = b . z

−∞

2π

−∞

2π

−∞

2π

Пример 8. Случайная величина ξ распределена равномерно в интервале

−

;

, т.е.

x −

;

p(x)= π

−

;

Найти математическое ожидание случайной величины η = sin(ξ).

Решение. Используя формулу (6.2.4.) , получаем:

	π
Mη = +∫∞ f (x)р(х)dх = ∫2		1	sin хdx = 0 . z
Mη = +∫∞ f (x)р(х)dх = ∫2			sin хdx = 0 . z
−∞	−π	π
−∞	−π
	2

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е.

MC = C , где C = const .

Доказательство. Постоянную С можно рассматривать как случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью 1. Следовательно,

MC = C P(ξ = C)= C 1 = C . 2. M (aξ +b)= aMξ +b .

Доказательство. Пусть ξ — непрерывная случайная величина. Тогда для случайной величины η = aξ +b по формуле (6.2.4.) получаем:

Mη = M (aξ +b)= +∞∫(ax +b)pξ (x)dx = +∞∫xpξ (x)dx +b+∞∫ pξ (x)dx = aMξ +b .

−∞

Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины.

3. Для любых случайных величин ξ и ψ математическое ожидание их суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

M (ξ +ψ )= Mξ + Mψ .

Доказательство. Пусть случайные величины ξ и ψ — дискретные. Случайная ве-

личина ξ принимает значения X1 ,..., X n , а случайная величина ψ принимает значения
Y1 ,...,Ym . Рассмотрим случайную величину η = ξ +ψ							(g(x, y)= x + y). Случайная величина
η принимает значения g(xi , y j ) с вероятностями pij							= P(ξ = X i ,ψ = Yj		). Тогда:
Mη = M (ξ +ψ )		n	m		n m		n m	n	m	m	n
Mη = M (ξ +ψ )		= ∑∑(xi + y j			)pij = ∑∑xi pij +		∑∑y j pij =	∑xi ∑pij + ∑xi ∑pij =
		i=1 j=1			i=1 j=1		i=1 j=1	i=1	j=1	j=1	i=1
n	m
= ∑xi pξ i + ∑y j pψ j = Mξ + Mψ .
i=1	j=1
При доказательстве воспользовались тем, что
m		n
∑pij = pξ i и ∑pij = pψ j .
j=1		i=1
Действительно, учитывая, что
∑m (ξ = X i ,ψ = Yj )= (ξ = X i )∑m (ψ = Yj )= (ξ = X i )Ω = (ξ = X i ),
j=1					j=1
то
pξ i = P(ξ =		X i )=		m		m			m
pξ i = P(ξ =		X i )=	P	∑(ξ = X i ,ψ = Yj )		= ∑P(ξ = X i ,ψ = Yj )= ∑pij ,
				j=1		j=1			j=1

аналогично доказывается, что

∑pij = pψ j . i=1

Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины.

4. Если ξ и ψ независимые случайные величины, то математическое ожидание

произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M (ξψ )= Mξ Mψ .

Доказательство. Пусть величины ξ и ψ — дискретные. В силу независимости случайных величин имеет место равенство:

pij = P(ξ = X i ,ψ = Yj )= P(ξ = X i )P(ψ = Yj )= pξ i pψ j . Тогда

	n	m	n m	)=
M (ξψ )= ∑∑xi y j pij = ∑∑xi y j P(ξ = X i )P(ψ = Yj				)=
	i=1	j=1	i=1 j=1
n	m
= ∑xi pξ i ∑y j pψ j =Mξ Mψ .
i=1	j=1

Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины. Заметим, что свойство 3 допускает обобщение на сумму любого числа слагаемых, а

свойство 4 допускает обобщение на произведение любого числа независимых (в совокупности) сомножителей.

Пример 9. Найти математическое ожидание случайной величины ξ — число успе-

хов в схеме Бернулли.

Решение. Представим число успехов ξ в схеме Бернулли из n испытаний в виде ξ =ϑ1 + ... +ϑn , где ϑi — число успехов в i-ом испытании. Очевидно, что

Mϑi = 0(1− p)+1 p = p . По свойству 3 математического ожидания, получаем

Mξ = M (ϑ1 +... +ϑn )= Mϑ1 + ... + Mϑn = ∑p = np .

i=1

Этот результат совпадает с результатом примера 3, но получен более легкими вычислениями. z

Пример 10. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие A. Вероятность события A в каждом опыте равна p. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина ξ — число произведенных опытов. Найти Mξ .

Решение. Рассмотрим событие (ξ =1), в этом случае событие A произошло при первом опыте, т.о. P(ξ =1)= p . Перейдем к событию (ξ = 2), в этом случае событие A при первом опыте не произошло, но произошло при втором опыте, т.о. P(ξ = 2)= (1− p)p . Производя аналогичные рассуждения, получаем ряд распределения:

…

(1− p)p

(1− p)2 p

…

(1− p)i−1 p

Используя формулу (6.1.1), получим:

∞

Mξ = ∑iP(ξ = i)= ∑i(1− p)i−1

p = ∑iqi−1 p = p∑iqi−1 =

i=1

∞

= p

∑

= p

(1− q)

dq i=1

− q

Таким образом, математическое ожидание равно

. z

Пример 11. Независимые случайные величины ξ и η заданы своими рядами распределений:

ξ	-1	0	1
P	1/4	1/4	1/2

η	2	1	0
P	1/3	1/2	1/6

Для случайной величины Z = ξ +η найти математическое ожидание двумя способами:

1)по определению математического ожидания;

2)по свойствам математического ожидания.

Решение. Рассмотрим 1 способ нахождения математического ожидания. Для

этого составим ряд распределения случайной величины Z . Для этого удобно воспользоваться таблицей сумм ξ +η и соответствующих им вероятностей. Например:

P((ξ = −1)∩(η = 2))= P(ξ = −1)P(η = 2)=			1	1	=	1 .
			4	3		12
ξ	η	2				1	0
	-1	1	1/12		0	1/8	-1
			1/12			1/8	1/24
	0	2			1		0
	0		1/12			1/8	1/24
			1/12			1/8	1/24
	1	3			2		1
	1		1/6			1/4	1/12
			1/6			1/4	1/12
Далее очень легко получить ряд распределения случайной величины Z .
				45

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.12.2018159.74 Кб1tematika_ksebak.doc
#
21.04.201922.94 Кб9Tema_12( не проходили).docx
#
27.09.2019199.57 Кб5TEMA_6.docx
#
21.04.201924.53 Кб2Tema_7.docx
#
21.04.201924.36 Кб12Tema_8.docx
#
09.04.20153.37 Mб57teoriya_veroyatnostey.pdf
#
10.11.201847.28 Mб58TerStomNew.doc
#
27.10.2018101.38 Кб2Test po bd.doc
#
09.04.2015593.92 Кб40Testovaya_baza_po_Istorii_2012.doc
#
09.04.2015134.66 Кб20TESTOVYE_VOPROSY_po_vsem_BD-100_k_GE.doc
#
09.04.2015131.58 Кб63TESTOV_E_VOPROS_po_vsem_BD-100_Otvety1isprav.doc