62. Объяснить, при каких условиях к электронам в металле применима:

а) классическая статистика;

б) квантовая статистика.

Решение:

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство k∙T << E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения находится из условия k∙T₀= E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T₀>> 10⁴ К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми - Дирака

(1)

плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка k∙T) в окрестности Е_F(рисунок). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T = 0 К). Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е < Е_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е > Е_F – больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например, при комнатной температуре Т >> 300 К и температуре вырождения T₀= 3∙10⁴ К, это 10^–5 от общего числа электронов.

Если (Е–Е_F) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (1) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.

Таким образом, при (Е–Е_F) >> k∙T, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–Е_F) << kT, к ним применима только квантовая статистика Ферми – Дирака.

Ответ: а) при (Е–Е_F) >> k∙T; б) при (Е–Е_F) << kT.

80. Определить массу изотопа , если изменение массы при образовании ядра составляет 0,2508∙10-27 кг.

Дано:

M = 0,2508∙10^-27 кг

--------------------------

Решение:

Изменение массы (дефект массы) изотопа азота равно:

(1),

где Z – число протонов в ядре изотопа азота : Z = 7;

N – число нейтронов в ядре изотопа азота : N = 8;

m_p – масса протона: m_p = 1,6726∙10^-27 кг

m_n – масса нейтрона: m_n = 1,6749∙10^-27 кг

М_я – масса ядра изотопа азота .

Из (1) выразим массу ядра изотопа азота :

(2)

Масса изотопа азота равна сумме массы ядра и массы электронов, вращающихся вокруг данного ядра. Число электронов, как и число протонов равно порядковому номеру изотопа азота в таблице Менделеева: Z = 7.