Частотные критерии устойчивости.

В основе частотных критериев устойчивости лежит принцип аргумента, известный в теории функции комплексной переменной.

Принцип аргумента.

Дано характерное уравнение.

Пусть - корни характеристического уравнения,

По основной теореме алгебры ( теореме Виетта) можем записать.

То есть характеристическое уравнение есть произведение элементарных сомножителей, где - корни характеристического уравнения.

На комплексной плоскости корней каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый кореньможет быть изображен в виде вектора, проведенного из начала координат к точке.

Длина вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси – аргумент или фаза комплексного числа , т.е..

Сомножители , входящие в, геометрически изображаются векторами, проведенными из точкив точкуКаждый из этих векторов представляет собой разность двух векторови.

Длина равна

Пусть (уравнение мнимой оси). Тогда вектор характеристического уравнения примет вид.

Концы каждого вектора будут находиться на мнимой оси.

представляет собой произведение элементарных векторов.

Из теории функции комплексной переменной известно, что длина такого вектора равна произведению длин элементарных векторов, а аргумента (угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности)

Найдем

при изменении от -до +.

Считается поворот против часовой стрелки – положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

Пусть в системе -го порядка имеется– правых корней илевых корней.

Если корень находится в левой полуплоскости, то при изменении.

Если корень находится в правой полуплоскости, то при изменении,то

Т

огда при изменении -<+угол поворота вектора характеристического уравнения

Принцип аргумента: Угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении равенгде- порядок характеристического уравнения, а- количество правых корней.

Для устойчивых САУ , и тогда

Критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента. При изменении частотыотдоконец вектора характеристического уравнения на комплексной плоскости описывает кривую, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. Для того, чтобы получить уравнение годографа Михайлова, надо в характеристическое уравнение подставить

и выделить вещественную и мнимую части.

Пусть характеристическое уравнение.

Подставим

- является четной функции частоты ,т.е . - является нечетной функцией частоты ,т.е.Таким образом, годограф будет симметричен относительно вещественной оси.

Это означает, что при его построении достаточно менять частоту от 0 до. При этом аргумент(угол поворота вектора характеристического уравнения) уменьшается в 2 раза и для устойчивой системы он будет равен. То есть годограф Михайлова устойчивой системы должен проходитьквадрантов.

САУ устойчивая, если при , годограф Михайлова начинается на положительной части действительной оси и обходит в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, последовательноквадрантов

Годограф начинается со свободного члена характеристического уравнения.

Если годографы соответствуют устойчивым системам, то это означает, что корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат , то САУ находится на границе устойчивости и хотя бы один корень расположен на мнимой оси.

Критерий устойчивости Найквиста.

Все рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить устойчивость замкнутой системы по характеристическому уравнению замкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет по поведению амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, определить устойчивость замкнутой системы, если она замкнута единичной отрицательной обратной связью. Этот критерий удобен тем, что АФЧХ разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Хотя АФЧХ может быть рассчитана и теоретически.

Пусть имеем замкнутую систему с единичной отрицательной обратной свяэью.

Пусть

Будем считать, что разомкнутая система устойчива.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы

Подставим сюда и применим принцип аргумента

Порядок равен порядкуи равенСледовательно,

=т.к(по условию, что разомкнутая система устойчива, следовательно)

определяется полиномом +. Порядок полиномаменьше порядка полинома. Поэтому порядокимеет порядок, т.еПоэтому=И-=0

Если изобразить на комплексной плоскости годограф , то векторпри возрастанииотдо + должен в сумме описать угол, равный нулю. Это будет лишь в том случае, когда этот годограф не будет охватывать начало координат. Изобразим этот годограф при изменении отдо +

От годографа можно перейти к годографут.е. к АФЧХ разомкнутой системы, которая представляет собой ту же кривую, но сдвинутую на1 влево( тот же результат можно получить, если сдвинуть мнимую ось на 1 вправо)

Критерий устойчивости Найквиста

1.Пусть разомкнутая система асимптотически устойчива, тогда для устойчивости системы , замкнутой единичной обратной связью, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывало точку с координатами

Статич.сист

2.Пусть разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет m правых корней. Тогда для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы огибала точку (-1,j0) раз в положительном направлении (еслиm нечетная, то дробь. Это означает, что АФЧХ начинается левее точки(-1,j0)

(0,5 раза) и один раз пересекает ее.

Примеры

Система устойчива в разомкнутом и в замкнутом состояниях

Система устойчива в разомкнутом состоянии и неустойчива в замкнутом.

Система неустойчива в разомкнутом и устойчива в замкнутом состояниях.

Этот критерий удобен еще и тем, что устойчивость разомкнутой системы легко определить.

разомкнутой системы есть произведения - передаточных функций элементов САУ не выше второго порядка , включенных последовательно. Поэтому устойчивость разомкнутой системы определить просто – надо найти корни сомножителей знаменателя передаточной функции разомкнутой системы (это просто, т.к. это уравнения первого или второго порядка)

Этот прием нельзя применять для замкнутых систем.

Построение границы области устойчивости в пространстве параметров САУ

(D-разбиение пространства параметров САУ)

В процессе эксплуатации САУ параметры объекта регулирования и регулятора могут изменяться, а, следовательно, изменяются и динамические свойства замкнутой САУ. Кроме того, ряд таких параметров как запаздывание в системе вообще бывает оценить трудно. Поэтому для разработчика САУ важно знать, как далеко находится система от границы области устойчивости или иначе каков запас устойчивости.

Для этой цели представляет интерес нанести в пространстве параметров границу устойчивости данной системы. Такими параметрами могут быть, например, коэффициент усиления и постоянная времени

Построение области устойчивости можно производить ,в принципе, любым из рассмотренных выше критериев устойчивости, проведя ряд построений при различных сочетаниях параметров. Можно также получить уравнение границы устойчивости из критерия Гурвица. Однако уже при возникают значительные трудности при непосредственном определении границы устойчивости по этим критериям.

Неймарком в 1948 году был предложен метод выделения устойчивости в плоскости параметров системы – метод Д- разбиения.

Выделим в плоскости параметров А₁ –А₂ системы области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения.

Область-n - «левых» корней

0 - «правых» корней

Область имеетn-1 левых и один правый корень

Область имеетn-2 левых и 2 правых корней

Разбиение плоскости (пространства) на области с одинаковыми индексами называется D-разбиением плоскости (пространства) параметров.

Среди выделенных областей нас интересует область устойчивости, т.е. область . Границей области устойчивости является мнимая ось. Таким образом, границу областиможно рассматривать как проекцию мнимой оси на плоскость параметров системы.

Система будет находиться на границе устойчивости, если хотя бы один ее корень расположен на мнимой оси. Уравнение корня, лежащего на мнимой оси, .

Подставив этот корень в характеристическое уравнение, мы можем для каждой найти такие значения коэффициентов характеристического уравнения, при которых это характеристическое уравнение обращается в ноль. Эти коэффициенты определяют в плоскости параметров системы точку, лежащую на границе устойчивости, т.е. на границеD-разбиения. Можно сказать, что граница D-разбиения является проекцией мнимой оси на плоскость параметров системы.

Таким образом, изменяя отдоможно выделить границу устойчивости системы. Однако выделенная область будет областью сминимальным количеством правых корней. Для того чтобы убедится, что она будет областью устойчивости, нужно взять любую точку из этой области, подставить ее координаты в характеристическое уравнение и проверить полученное характеристическое уравнение на устойчивость. Если окажется, что в этой точке САУ устойчива, следовательно, вся выделенная область является областью устойчивости.

D – разбиение проводится в плоскости одного, двух или в пространстве параметров.

Выделение области устойчивости в плоскости коэффициента усиления системы.

Коэффициент усиления K- один из наиболее важных параметров системы. От него в значительной степени зависит устойчивость системы и качество процессов управления.

Для того, чтобы выделить область устойчивости в плоскости К нужно в характеристическом уравнении выделить члены, содержащие, и не содержащие К. Как правило, К содержит свободный член характеристического уравнения.

Поэтому запишем характеристическое уравнение в виде:

.

Подставим в него

и разрешим это уравнение относительно К

Изменяя отдо, построим границу области, претендующей на устойчивость.

Для того чтобы определить область , претендующую на устойчивость, воспользуемся правилом штриховки.

Если мы передвигаемся по мнимой оси от к, то область устойчивости остается слева, поэтому, передвигаясь по выделенной границе отк,штрихуем левую сторону

кривой. Полностью заштрихованная область есть область, претендующая на устойчивость.

Чтобы проверить, будет эта область областью устойчивости, возьмем любую точку из этой области, подставим в ее в характеристическое уравнение и проверим САУ на устойчивость. Если в данной точке система устойчива, значит выделенная область является областью устойчивости. Т.к. К – вещественная, положительная величина, то система устойчива от 0 до

Пример.

=

Строим годограф.

	Р1	Р2
0	0	0
1	10	-10
-1	10	10
	30	0
2	40	10
-2	40	-10

Строим годограф. Он пересекает вещественную ось при

(Р₁=0, Р₂=0) и при (Р₁=30, Р₂=0)

Проверяем выделенную область на устойчивость. Берем К=1.

Подставляем в характеристическое уравнение:

По критерию Гурвица Следовательно, выделенная область является областью устойчивости.

САУ устойчива при изменении К от 0 до 30.

D – разбиение в плоскости 2-х параметров.

Для того, чтобы можно было провести D – разбиение в плоскости 2-х параметров, нужно, чтобы эти параметры входили в характеристическое уравнение линейно-независимо.

Пусть параметры, в плоскости которых хотим выделить область устойчивости, будут и.

Выделим в характеристическом уравнении, члены содержащие и, и не содержащие ни того, ни другого.

Тогда характеристическое уравнение запишется

(1)

Т.к. границами устойчивости являются мнимая ось и уравнение корня, лежащего на ней . Подставим значения этого корня в характеристическое уравнение.

( 2)

Выделим в каждом члене уравнения (2) действительную и мнимую части.

(3)

Тогда уравнение перепишется в виде

(4)

Уравнение (4) комплексное число. Оно равно нулю, если равны нулю вещественная и мнимая части

Вещественная: (5)

Мнимая:

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решим их относительно и, воспользовавшись правилом Крамера.

(6)

С помощью уравнения (6), мнимая ось отображается на плоскость параметров регулятора -.

Если , то каждому значениюсоответствуют определенные значенияи.

При непрерывном изменении на плоскости-вычерчивается кривая, которая представляет собой границу области с одинаковым распределением корней.

Проанализируем

- четные функции частоты

- нечетные функции частоты

- нечетные функции частоты.

Следовательно, и- четные функции частоты, т.е. полиномы, определяющиеи, содержат только четные функции от Т.о значениямисоответствует одна и та же точка кривой. Таким образом, при измененииотдо, кривая границы устойчивости пробегается дважды в противоположных направлениях и одна из сторон в выделенной области оказываетсязаштрихованной дважды.

Область устойчивости в плоскости K₁,-K₂ при возрастании от 0 до, прибудет расположена слева, а присправа.

Т.к. является непрерывной функцией частоты, то знак его может поменяться только при переходечерез 0. При этом момент прохождениячерез 0, может соответствовать двум случаям:

1) (в этом случаеиобращаются ви переходчерез 0 происходит в бесконечно удаленной точке границы устойчивости, а на всем протяжении границы - знак не меняет)

2) В этом случае, уравнения(5) являются одно следствием другого и отличаются они лишь постоянными множителями.

В этом случае при частоте , гдевместо одной точки, получаем бесконечную совокупность точек, лежащих на одной прямой. Эта прямая называетсяособой прямой . Она будет либо пересекать границу устойчивости, либо проходить через ее начало. В большинстве случаев особые прямые соответствуют или

Особые прямые бывают в тех случаях, когда один из параметров К₁ или К₂ входит в свободный член характеристического уравнения.

Особые прямые штрихуются одинарными штрихами.

Выделенная область должна быть проверена на устойчивость по любому из критериев.

Пример.

Подставим в это характеристическое уравнение корень, лежащий на мнимой оси,

Разобьем на действительную и мнимую части

Таким образом, вещественная часть (только коэффициенты)

Получили систему

Таким образом

При будет особая прямая.

Построим эту границу

	0	1	2
	0	5	20
	0	10	40

Особая прямая - , при этом она штрихуется навстречу выделенной границы.

Проверим на устойчивость

Гурвиц:

1)

2)

Т.к. в данной точке САУ устойчива, то выделенная область является областью устойчивости.

Иногда выделить область устойчивости в плоскости 2-х параметров можно даже, если они входят в характеристическое уравнение линейно независимо.

Пример.

Пусть характеристическое уравнение:

Хотим провести D – разбиение в плоскости и

Проводим D – разбиение в плоскости а-в рассмотренным выше способом, т.к. они входят в уравнение линейно независимо.