3.6. Двумерные вейвлеты /2, 13/.
Многомерные вейвлет-преобразования являются расширением одномерных преобразований на случай большей размерности. Вейвлетными функциями такого преобразования являются тензорные произведения одномерных функций по размерности преобразования.
Двумерные вейвлеты определяются функциями двух переменных (х, у) в двумерном пространстве V(x, y) L2(R2), при этом параметры а и b могут быть индивидуальными для каждой переменной. В общей форме для двумерного непрерывного вейвлета:
a1,b1; a2,b2(x,y) = (a1·a2)-1/2 0[(x-b1)/a1, (y-b2)/a2]. (3.6.1)
При двумерном КМА двумерный ортонормальный базис пространства L2(R2) имеет четыре порождающих функции, которые строится на основе одномерного ортонормального вейвлет-базиса (t) и скейлинг-функции t Для скейлинг-функции:
(x, y) = (x) (y). (3.6.2)
Тензорное произведение для вейвлетных функций:
(x, y) = (x) (y), (x, y) = (x)(y),(x, y) = (x) (y). (3.6.3)
Если масштабирование по обеим переменным производится синхронно, то все остальные функции двумерных базисов определятся выражением:
Фm,k,n(x, y) = 2m Ф(2mx-k, 2my-n), m,k,n I, (3.6.4)
где функция Ф(х,у) – соответствующие выражения (3.6.2 – 3.6.3).
Если система (3.6.3) является ортонормированным базисом в L2(R2), то прямое вейвлет-преобразование сигнала s(x, y) соответственно выполняется по формулам:
ccm,k,n = s(x,y), m,k,n(x, y), cdm,k,n = s(x,y), m,k,n(x, y),
dcm,k,n = s(x,y), m,k,n(x, y), ddm,k,n = s(x,y), m,k,n(x, y).
При этом можно считать, что двумерный сигнал в плоскости (х, у) анализируется по горизонталям, вертикалям и диагоналям с одинаковым разрешением.
Обратное преобразование с уровня m:
s(x, y)
=
ccm,k,n
m,k,n(x,
y) +
+
[cdm,k,n
m,k,n(x,
y)+
dcm,k,n m,k,n(x,
y)+
ddm,k,n m,k,n(x,
y)].
При использовании быстрого преобразования дискретного сигнала, представленного матрицей si,j, которую (как и в одномерном случае) можно считать максимальным разрешением исходного непрерывного сигнала s(x,y), преобразование начинается с фильтрации строк матрицы низкочастотным hk и высокочастотным gk фильтрами, аналогичными одномерному преобразованию, в результате которой вычисляются матрицы следующего уровня разложения НЧ и ВЧ. Полученные матрицы фильтруются этими же фильтрами по столбцам, в результате чего из НЧ формируются матрицы НЧНЧ и НЧВЧ, а из ВЧ - матрицы ВЧНЧ и ВЧВЧ. Таким образом, реализация двумерного БВП является четырехканальной, а общее количество отсчетов во всех четырех новых матрицах равно количеству отсчетов в исходной матрице разложения, что сохраняет в них полный объем информации, заключенный в исходной матрице.
В общем случае n-мерного пространства ортонормальный базис образуют 2n-1 функций, при помощи которых осуществляется МКА любой функции их L2(Rn) пространства, при этом нормировочный множитель равен 2nm/2.
Литература
2. Дремин И.Л. и др. Вейвлеты и их использование. / Успехи физических наук, 2001, т.171, № 5, стр. 465-501.
3. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.
5. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд. СПбГТУ, 1999, 132 с.
12. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab. М.: LVR Пресс, 2005. – 304 с.
13. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований. – Вычислительные методы и программирование, 2001, т.2.
14. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. – СПб, ВУС, 1999. 204 с.
А.В.Давыдов.
25.04.08.
Cайт автора Лекции Практикум
О замеченных ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright ©2008 Davydov А.V.