9.3. Режекторные и селекторные фильтры.
Режекторный фильтр (фильтр-пробка) подавляет определенную частоту во входном сигнале. Он может быть спроектирован непосредственно по z-диаграмме.
Комплексная z-плоскость. Простейший режекторный фильтр типа НЦФ имеет один нуль на единичной окружности в z-плоскости в точке с частотой, которую необходимо подавить. Так, например, если из входного сигнала требуется исключить постоянную составляющую (нулевая частота), то импульсная реакция фильтра НЦФ имеет вид:
H(z) = 1-z. (9.3.1)
Нуль функции (9.3.1) равен n1=1. Как можно видеть на рис. 9.3.1, коэффициент передачи сигнала H() на любой частоте i от 0 до N=/t - частоты Найквиста, определяемый выражением (9.3.1), будет равен длине вектора Vn1, проведенного из нуля функции H(z) - точка n1 на действительной оси, до соответствующей частоты i - точки z(i) на единичной окружности. На частоте = 0 длина этого вектора равна нулю. Амплитудно-частотная характеристика фильтра, приведенная пунктиром на рисунке 9.3.2 для передаточной функции (9.3.1), далека от идеальной для фильтр-пробки.
Рис. 9.3.1. Синтез
фильтров. Рис.
9.3.2. АЧХ фильтров.
Hп(z) = G(1-z)/(1-az), zp= 1/a. (9.3.2)
Допустим, что полюс помещен в точке p1 = 1.01, при этом, а=0,99. Масштабный коэффициент G получим нормировкой H(z) к 1 на частоте Найквиста. Для приведенных условий G=0.995. Отсюда, при t=1:
Hп(z) = 0,995(1-z)/(1-0.99z),
y(k) = 0.995[x(k) –x(k-1)]+ 0.99y(k-1).
Рис. 9.3.3.
|Hп(z)| = G Vn1(z)/Vp1(z).
Фазочастотная характеристика фильтра приведена на рис. 9.3.3 и определяется разностью фазовых углов векторов Vn1(z) и Vp1(z):
п() = n1-p1.
Режекторный фильтр произвольной частоты. При проектировании на подавление любой другой частоты v нули и полюсы располагаются на соответствующем радиусе z-плоскости. Радиальный угол направления на нуль и полюс определяются выражением:
v = ·v/N. (9.3.3)
Наличие двух знаков в выражении (9.3.3) отражает тот факт, что для получения вещественной функции фильтра нули и полюсы должны быть комплексно-сопряженными парами (их произведение дает вещественную функцию), т.е.:
Hv(z) = G(z-zn)(z-zn*)/[(z-zp)(z-zp*)]. (9.3.4)
Нули фильтра располагаются на единичной окружности:
zn = cos v + j sin v = Re zn + j Im zn. (9.3.5)
Полюсы - на полярном радиусе R:
zp = R cos v + j R sin v = Re zp + j Im zp. (9.3.6)
Пример положения нулей (n2 и n2*) и полюсов (р2 и р2*) приведен на рис.9.3.1. Подставляя (9.3.5-9.3.6) в (9.3.4), получаем:
Hv(z) =, (9.3.7)
G = [1+(1+2Re zp)/R2] / (2+2Re zn). (9.3.8)
При приведении уравнения (9.3.7) в типовую форму:
Hv(z) =, (9.3.7')
b0 = 1, b1 = -2·Re zn, b2 = 1. (9.3.9)
a1 = - (2·Re zp)/R2, a2 = 1/R2.
Соответственно, алгоритм вычислений:
y(k) = G·[x(k) +b1·x(k-1)+x(k-2)] – a1·y(k-1) – a2·y(k-2). (9.3.10)
Пример. Проведем расчет режекторного фильтра на частоту питания приборов fs = 50 Гц, которая очень часто попадает в измеренные данные. Шаг дискретизации данных t = 0.001 сек.
Частота Найквиста:fN = 1/2t = 500 Гц.
Радиальный угол на нули и полюса фильтра в z-плоскости:·fs/fN = 0.1π.
Радиус полюса фильтра примем равным R = 1.01. Значения нуля и полюса:
zn = cos + j sin = 0.951 + 0.309 j, zp = R·cos v + j R·sin v = 0.961 + 0.312 j.
Значение масштабного множителя G по (9.3.8): G = 0.99.
Значения коэффициентов передаточной функции: b1 = -2·Re zn = -1.902,
a1 = - (2·Re zp)/R2 = -1.883, a2 = 1/R2 = 0.98.
Частотная передаточная функция фильтра при подстановке коэффициентов в уравнение (9.3.7') и замене z = exp(-jω):
H() = 0.99[1-1.902·exp(-jω)+exp(-2jω)] / [1-1.883·exp(-jω)+0.98·exp(-2jω)].
Алгоритм фильтра: y(k) = 0.99[x(k) - 1.902 x(k-1) + x(k-2)] + 1.883 y(k-1) – 0.98 y(k-2).
Для проверки вычисленного в примере фильтра на рис. 9.3.4 приведен модельный входной сигнал, состоящий из суммы двух равных по амплитуде гармоник с частотой 50 и 53 Гц, и сигнал на выходе фильтра (смещен вверх). Справа на рисунке приведены спектры входного и выходного сигналов. Спектр выходного сигнала зарегистрирован после интервала установления реакции фильтра, который хорошо заметен на начальной части графика выходного сигнала. После установления сигнал на выходе фильтра практически полностью освобожден от гармоники 50 Гц.
Рис. 9.3.4.
Рис. 9.3.5.
Селекторный фильтр. Если в уравнении (9.3.4) опустить нули, то получим селекторный фильтр, выделяющий сигналы одной частоты ωs – частоты селекции, с передаточной функцией:
Hs(z) = G/[(z-zp)(z-zp*)] = G1/(1+a1z+a2z2). (9.3.11)
Рис. 9.3.6.
При необходимости фильтр может быть пронормирован к 1 на частоте селекции определением значения G1 по условию Hs(ω) = 1 при ω = ωs, т.е.:
G1 = 1+a1 z(s)+a2 z(s)2.
Рис. 9.3.7.
Hs(z) = 1-Hv(z).
Hs(z) = . (9.3.12)
с0 = 1-G, c1 = a1-Gb1, c2 = a2-G.
Пример передаточной функции фильтра приведен на рис. 9.3.7. Пример применения фильтра для выделения гармонического сигнала на уровне шумов, мощность которых больше мощности сигнала, приведен на рис. 9.3.8.
Рис. 9.3.8. Фильтрация
сигнала селекторным РЦФ.
Курсовая работа 12-07. Разработка программы расчета режекторных РЦФ повышенной добротности параллельной комбинацией режекторного РЦФ с двумя боковыми селекторными РЦФ и фильтрации цифровых сигналов.
Курсовая работа 13-07. Разработка программы расчета селекторных РЦФ повышенной добротности параллельной комбинацией селекторного РЦФ с двумя боковыми режекторными РЦФ и фильтрации цифровых сигналов.
Курсовая работа 14-07. Исследование дополнения интегрирующего фильтра Симпсона режекторным фильтром на частоту Найквиста и разработка программы обработки цифровых данных комбинированным фильтром.