- •3.1. Элементы выпуклого анализа
- •3.2. Дифференциальные критерии выпуклости функций
- •3.3. Общая задача оптимизации
- •3.4. Исследование задачи математического программирования
- •3.5. Численные методы нелинейного программирования
- •Методы нулевого порядка
- •Методы первого порядка
- •Метод второго порядка
- •Глава 4. Динамическое программирование
- •4.1. Постановка задачи динамического программирования
- •1. Задача о пропорциях потребления и накопления
- •2. Задача о замене оборудования
- •3. Задача о распределении ресурса
- •4.2. Метод динамического программирования р. Беллмана
- •4.3. Решение задачи о замене оборудования методом р. Беллмана
- •Заключение
- •Вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Содержание
4.3. Решение задачи о замене оборудования методом р. Беллмана
В соответствии с постановкой задачи о замене оборудования, приведенной в разд. 4.1, для функции (4.2.3) можно записать:
(4.3.1)
где – годовая прибыль, получаемая от использования оборудования возраста. Если возраст оборудования меньше максимально допустимого значения (т.е.), то, в соответствии с (4.2.4), запишем:
(4.3.2)
Условно оптимальным управлением здесь является то из значений(или), на котором достигается максимум (4.3.2). Поэтому выбор того или иного управления в качестве условно оптимального определяется следующими условиями:
(4.3.3)
Если возраст оборудования в -м календарном году равен максимально допустимому (), то в конце этого года однозначно происходит замена оборудования и в этом случае вместо (4.3.2) можно записать:
, (4.3.4)
что соответствует .
Если возраст оборудования в начальном состоянии не задан и существует возможность выбора оборудования разного возраста, то значениеможет быть определено в результате решения оптимизационной задачи. Используяи найденные условно оптимальные управления, можно получить траекторию рассматриваемой системы.
Пример 4.3.1
Рассмотрим задачу о замене оборудования (4.1.3) со следующими исходными данными: .
В процессе решения задачи будем заполнять две таблицы: табл. 4.3.1 и табл. 4.3.2. В первую будем вносить значения функций Беллмана, во вторую – значения условно оптимальных управлений.
В соответствии с (4.3.1), последнюю строку табл. 4.3.1 заполняем значениями , взятыми из исходных данных. Вычисление последующих значений функций,при значениях аргумента, равных, производится в соответствии с соотношениями (4.3.2) и (4.3.4), которые можно представить в следующем объединенном виде:
(4.3.5)
где .
Параллельно с заполнением табл. 4.3.1 значениями функций, вычисленными с использованием выражения (4.3.5), в табл. 4.3.2 вносятся значения условно оптимальных управлений, найденных в соответствии с (4.3.3) или, что то же самое применительно к рассматриваемому примеру, с помощью следующих условий, в которых величина имеет тот же смысл, что и в (4.3.5):
Ниже приведены расчеты значений, представленных в таблицах 4.3.1 и 4.3.2.
При :;
При :;
При :;
При :;
При :;
Таблица 4.3.1 Таблица 4.3.2
1 |
2 |
3 |
4 | |
39 |
33 |
30 |
27 | |
32 |
29 |
26 |
23 | |
28 |
22 |
19 |
16 | |
21 |
18 |
15 |
12 | |
17 |
11 |
8 |
5 | |
10 |
7 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 | |
0 |
0 |
1 |
1 | |
0 |
1 |
1 |
1 | |
0 |
0 |
1 |
1 | |
0 |
1 |
1 |
1 | |
0 |
0 |
1 |
1 |
Согласно исходным данным, , поэтому. В соответствии с результатами, представленными в табл. 4.3.2,. Поэтому в конце первого года работы замена оборудования не производится. В течение второго года работы возраст оборудования равен, и поскольку, в конце второго года осуществляется замена оборудования. Следовательно, в течение третьего года возраст оборудования равен, и так как, в конце третьего года замена оборудования не производится. В течение четвертого года возраст оборудования составляет, причем, что означает замену оборудования в конце четвертого года. В течение пятого года возраст оборудования равени поскольку, в конце пятого года замена оборудования не производится. Следовательно, в течение шестого года работы возраст оборудования составит.
В соответствии с полученными результатами, оптимальной стратегией является замена оборудования после второго и четвертого года.