Статистика _Овсянникова (исправленный)

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Параметр ρxy может быть выражен следующим образом:

_____

yx − y x .

ρxy = ____

x2 − x 2

Так как знаменатель этого выражения есть не что иное, как дисперсия переменной x, формула коэффициента регрессии ρxy может быть записана как

80

Параметр b можно найти, разделив на n второе уравнение системы:

b = y-ρxy x .

При большом числе наблюдений одно и то же значение х может встретиться nx раз, одно и то же значение у – ny раз, одна и та же пара чисел (х, у) может наблюдаться nxy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты nx , ny , Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной. В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения признака X, а в первом столбце – наблюдаемые значения признака Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты nxy наблюдаемых пар значений признаков.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. В последней строке записаны суммы частот столбцов. В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n).

Предполагалось, что значения X и соответствующие им значения Y наблюдались по одному разу. Теперь же допустим, что получено большое число данных (практически для удовлетворительной оценки искомых параметров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Запишем формулу коэффициента регрессии ρxy так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы.

81

Последняя формула отражает связь коэффициента корреляции с коэффициентом регрессии.

Коэффициент парной корреляции изменяется от -1 (случай полной обратной связи) до +1 (случай полной прямой связи).

Коэффициент корреляции – это симметричная мера связи, т.е. это мера взаимосвязи между X и Y. Поэтому rxy = ryx .

Подставив правую часть равенства (5.4) в (5.3), окончательно получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

yx − y = rxy σ y (x − x) .

σx

Аналогично находят выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y вида

x y − x = rxy σx ( y − y) .

σ y

При решении задачи расчет производится в два основных этапа. На первом – обрабатывают табличные данные для нахождения величин x, y , Qx , Qy , Qxy . При этом используется упрощенная схема вычисления, т.е. переход от xi и yi к условным вариантам.

Второй этап – вычисление основных параметров корреляционной зависимости по формулам и оценка их достоверности.

Задание 3 (Контрольная работа № 10)

Изучая зависимость между показателями X и Y, проведено обследование 10 объектов и получены следующие данные

82

Полагая, что между X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определите выборочное уравнение регрессии

yx − y = rxy σ y (x − x) и выборочный коэффициент линейной регрессии

σx

rxy . Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделайте вывод о направлении и тесноте связи между показателями X и Y.

Решение. Построим диаграмму рассеяния (рис. 5), отметив в прямоугольной декартовой системе координат точки с координатами (x, y) – эмпирические данные. Из диаграммы рассеяния видно, что между показателями X и Y действительно наблюдается линейная связь.

Для определения коэффициентов выборочного уравнения регрессии вида yx = b0 +b1 (x − x) можно воспользоваться, например, следующими формулами:

x = ∑n x , y = ∑n y , Qx = ∑x2 − (∑nx)2 ,

Qy = ∑y2 − (∑ny)2 ,

Qxy = ∑xy − ∑xn∑y .

Тогда параметры b0 и b1 уравнения линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции rxy определим по формулам

Составим расчетную таблицу 5.1.

83

Используя суммы таблицы 5.1, найдем:

b0 = y = 3,4 ,

b1 = Qxy = 140,5 = 0,035 . Qx 4050

Тогда выборочное уравнение линейной регрессии примет вид

yx = 3,4 + 0,035(x −85)

или

yx = 0,035x + 0,425 .

84

Выборочный коэффициент линейной корреляции rxy

Таким образом, расчеты подтвердили, что между показателями X и Y наблюдается положительная линейная корреляционная связь (связь прямая, так как rxy ≈ 0,94 > 0 ), которую согласно таблице Чеддока (таблица 5.2) можно считать весьма высокой ( rxy ≈ 0,94 ).

Для построения линии регрессии (прямой) найдем две точки.

правление, а абсолютная величина rxy – тесноту линейной корреляционной связи.

Если rxy > 0 , то увеличение признака x в среднем приводит к увеличению признака y, то есть связь между показателями x и y – прямая (положительная) линейная корреляционная связь. Если rxy < 0 , то с увеличением признака x в среднем признак y уменьшается, то есть связь между показателями x и y обратная (отрицательная) линейная корреляционная связь.

Замечание 2. Для качественной оценки тесноты корреляционной связи между x и y можно воспользоваться таблицей Чеддока

(табл. 5.2).

85

86

Тема 6.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Обобщим весь изложенный материал на решении следующей задачи:

Задана двухмерная выборка XY. Для выборок X и Y необходимо:

1)составить интервальный ряд распределения;

2)найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;

3)найти эмпирическую функцию распределения и построить

ееграфик;

4)построить гистограмму относительных частот;

5)по виду гистограммы выдвинуть гипотезу о типе распределения генеральной совокупности и проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0.05;

6)построить график теоретической плотности вероятности;

7)найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежно-

стью 0,95;

8)составить корреляционную таблицу и в предположении о линейной зависимости между X и Y найти выборочный коэффициент корреляции;

9)проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05;

87

10) найти выборочные уравнения прямой линии регрессии Y на X и прямой линии регрессии X на Y и построить их графики на корреляционном поле.

ВЫБОРКА

Определяем объем выборки: n =100

Производим расчет выборки X.

1. По значениям выборки X составляем вариационным ряд

(табл.6.1).

Таблица 6.1

88

Вычисляем: hx = (82 – 41)/(1 + 3,332lg100) = 5,3497. Округля-

ем полученное значение до ближайшего целого числа. Принимаем длину интервала hx = 6. За начало первого интервала рекомендует-

ся принимать значение хнач = хmin – hx/2. В данном случае хнач = 38. Составляем интервальный ряд распределения. Варианту, значение которой совпадает с нижней границей интервала, включаем в i-й интервал, а варианту, значение которой совпадает с верхней границей интервала, включаем в следующий (i+1)-й интервал.

Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 6.2).

Таблица 6.2

89