94 |
Глава 5. Основы вариационного исчисления |
Функция y2(x) C0n[x0, x1] и y2(x) > 0 при x (x2 − ε, x2 + ε). Следовательно,
x1 |
x2+ε |
ZZ
f(x)y2(x)dx = |
f(x)y2(x)dx > 0, |
x0 |
x2−ε |
что противоречит условию леммы. Лемма 5.1.1 доказана.
5.2. Уравнение Эйлера
Рассмотрим множество M непрерывно дифференцируемых на [x0, x1] функций y(x) таких, что y(x0) = y0, y(x1) = y1. Определим на этом множестве функционал
x1 |
|
|
Φ[y(x)] = xZ0 |
F (x, y(x), y0(x))dx, |
(5.1) |
где F (x, y, p) – заданная функция трех переменных.
Получим необходимое условие экстремума функционала на множестве M.
Теорема 5.2.1. Предположим, что при x [x0, x1], (y, p) R2 у функции F (x, y, p) существуют непрерывные вторые частные производные. Если функционал (5.1) достигает локального экстремума на функции y0(x) M, имеющей непрерывную вторую производную на отрезке [x0, x1], то функция y0(x) является решением дифференциального уравнения
|
d |
6 x 6 x1. |
|
Fy(x, y(x), y0 |
(x)) − dxFp(x, y(x), y0(x)) = 0, x0 |
(5.2) |
Доказательство. Найдем вариацию функционала (5.1) на y0(x). Из определения множества M следует, что допустимой вариацией δy(x) функции y0(x) является любая непрерывно дифференцируемая на отрезке [x0, x1] функция, обращающаяся в ноль на концах этого отрезка
(см. рис. 5.2). То есть δy(x) C01[x0, x1].
Используя определение вариации функционала, получим
d
δΦ[y0(x), δy(x)] = dtΦ[y0(x)
+ tδy(x)] =
t=0
5.2. Уравнение Эйлера |
95 |
Рис. 5.2. К доказательству теоремы 5.2.1. |
|
|
x1 |
F (x, y0(x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0(x))dx t=0 = |
= dt Z |
|||
|
d |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1
Z
n
=Fy(x, y0(x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0(x))δy(x)+
x0
|
+Fp |
(x, y0(x) + tδy(x), y00 (x) + t(δy)0(x))(δy)0(x)odx t=0 = |
||
|
x1 |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
= |
Fy(x, y0 |
(x), y00 (x))δy(x) + Fp(x, y0 |
(x), y00 (x))(δy)0(x) dx |
|
|
n |
|
|
o |
x0
Из теоремы о необходимом условии экстремума следует, что вариация функционала на y0(x) должна равняться нулю, то есть
x1 |
x1 |
Z |
Z |
Fy(x, y0(x), y00 (x))δy(x)dx + Fp(x, y0(x), y00 (x))(δy)0(x)dx = 0.
x0 |
x0 |
Интегрируя по частям второй интеграл и учитывая то, что
δy(x0) = δy(x1) = 0,
получим
x1
Z
nFy(x, y0(x), y00 (x)) − dxd Fp(x, y0(x), y00 (x))oδy(x)dx = 0.
x0
96 Глава 5. Основы вариационного исчисления
Это равенство выполнено для любой функции δy(x) C01[x0, x1]. Применяя основную лемму вариационного исчисления, имеем
F |
(x, y |
(x), y0 |
(x)) |
|
d |
F |
(x, y |
(x), y0 |
(x)) = 0, x |
0 6 |
x |
6 |
x . |
|
|
||||||||||||
y |
0 |
0 |
|
− dx p |
0 |
0 |
|
|
1 |
||||
Следовательно, функция y0(x) является решением уравнения (5.2) и теорема 5.2.1 доказана. 
Уравнение (5.2) называется уравнением Эйлера для функционала (5.1). Так как функция y0(x), на которой достигается экстремум функционала (5.1), принадлежит множеству M, то она является решением следующей краевой задачи
|
d |
6 x 6 x1, |
Fy(x, y(x), y0 |
(x)) − dxFp(x, y(x), y0(x)) = 0, x0 |
y(x0) = y0, y(x1) = y1.
Рассмотрим пример применения доказанной теоремы.
Во многих приложениях, например, при обработке изображений, требуется приблизить некоторую функцию f(x) более гладкой функцией y(x). Это означает, что производная y0(x) не должна иметь слишком большие значения. Для решения подобных задач может быть применено вариационное исчисление. Пусть f(x) такова, что f(x0) = f(x1) = 0. Рассмотрим задачу нахождения минимума следующего функционала
x1 |
x1 |
|
||
xZ0 |
(y(x) − f(x))2dx + αxZ0 |
(y0(x))2dx, |
(5.3) |
|
где α – положительный параметр. Минимизация первого интеграла обеспечивает близость функции y(x) к исходной f(x), а минимизация второго интеграла приводит к тому, что значения производной y0(x) не будут слишком большими.
Для решения задачи минимизации функционала (5.3) на множестве функций y(x) таких, что y(x) C1[x0, x1], y(x0) = y(x1) = 0, запишем уравнение Эйлера для функционала (5.3). Так как в этом случае
F (x, y, p) = (y − f(x))2 + αp2, Fy(x, y, p) = 2(y − f(x)), Fp(x, y, p) = 2αp,
то уравнение Эйлера имеет вид
2(y(x) − f(x)) − dxd (2αy0(x)) = 0.