3.4. Фундаментальная система решений и общее решение |
71 |
условиям в точке t0. По теореме единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения эта функция равна нулю на отрезке [a, b]. Следовательно,
e |
n |
X e |
|
y(t) = |
ckyk(t) = 0, t [a, b], |
|
k=1 |
и функции yk(t), k = 1, 2, . . . , n линейно зависимы. Тогда из теоремы 3.3.1 следует, что определитель Вронского, составленный из этих функций, равен нулю на отрезке [a, b].
Пусть существует точка bt [a, b] такая, что W [y1, . . . , yn]( bt ) 6= 0. Тогда из предыдущего следует, что определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yk(t), k = 1, 2, . . . , n линейно независимы на этом отрезке. 
Замечание 3.3.3. В силу доказанной теоремы рассмотренные в примере 3.3.2 дважды непрерывно дифференцируемые линейно независимые на отрезке [−1, 1] функции
ϕ1(t) = t3, ϕ2(t) = t2|t|
не могут являться решениями никакого линейного однородного уравнения второго порядка
a0(t)y00(t) + a1(t)y0(t) + a2(t)y(t) = 0, t [−1, 1]
с непрерывными коэффициентами a0(t), a1(t), a2(t) и a0(t) 6= 0, поскольку W [ϕ1, ϕ2](t) ≡ 0 на отрезке [−1, 1].
3.4.Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения
3.4.1.Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение 3.4.1. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) на отрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого уравнения.
72 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений
Теорема 3.4.1. У любого линейного однородного уравнения (3.19) существует фундаментальная система решений на [a, b].
Доказательство. Рассмотрим постоянную матрицу B с элементами bij, i, j = 1, 2, . . . , n такую, что det B 6= 0. Обозначим через yj(t) решения задачи Коши для уравнения (3.19) с начальными условиями
yj(t0) = b1j, y0 |
(t0) = b2j, . . . , y |
(n−1) |
(t0) = bnj, j = 1, 2, . . . , n. (3.21) |
j |
|
j |
|
По теореме 2.3.5 существования и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка функции yj(t) существуют и определены однозначно. Составленный из них определитель Вронского W [y1, . . . , yn](t), в силу условий (3.21), таков, что W [y1, . . . , yn](t0) = det B 6= 0. Следовательно, по теореме 3.3.2 он не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yj(t) линейно независимы на отрезке [a, b]. Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.19) и теорема доказана. 
Замечание 3.4.1. Из доказательства теоремы 3.4.1 следует, что фундаментальная система решений уравнения (3.19) определена неоднозначно. Действительно, выбирая различные матрицы B такие, что det B 6= 0, мы получим различные фундаментальные системы решений уравнения (3.19).
Замечание 3.4.2. Так как коэффициенты уравнения aj(t) вещественны, то фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) также может быть выбрана вещественной.
3.4.2. Общее решение линейного однородного уравнения
Определение 3.4.2. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, что любое другое решение уравнения (3.19) может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.
Теорема 3.4.2. Пусть y1(t), y2(t), . . . , yn(t) – фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) на отрезке [a, b]. Тогда общее решение этого уравнения на рассматриваемом отрезке имеет вид
yOO(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t), cj C. |
(3.22) |
3.4. Фундаментальная система решений и общее решение |
73 |
Доказательство. Так как линейная комбинация решений однородного уравнения (3.19) является решением этого уравнения, то при любых значениях постоянных ck функция yOO(t), определяемая формулой (3.22), является решением линейного однородного дифференциального уравнения (3.19).
Покажем теперь, что любое решение уравнения (3.19) может быть получено из (3.22) в результате выбора значений постоянных ck. Пусть ye(t) – некоторое решение уравнения (3.19). Рассмотрим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных ck
|
|
|
c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + cnyn(t0) = y(t0), |
|
(3.23) |
||||||||||||
|
|
|
c1y10 (t0) + c2y20 (t0) + · · · + cnyn0 |
(t0) |
.=. . |
e0 |
|
0 |
), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(t |
|
|
||
1 |
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
n n |
0 |
|
|
e |
|
− |
|
0 |
|
c |
y(n−1) |
(t |
) + c |
y(n−1) |
(t |
) + |
· · · |
+ c y(n−1) |
(t |
) = y(n |
|
1) |
(t |
), |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
где t0 – некоторая точка отрезка [a, b]. Определитель этой системы равен определителю Вронского в точке t0 и не равен нулю, так как решения y1(t), y2(t), . . . , yn(t) линейно независимы. Следовательно, система (3.23) имеет единственное решение ec1, ec2, . . . , ecn.
Рассмотрим функцию
n
X
yb(t) = eckyk(t).
k=1
Эта функция является решением уравнения (3.19). Так как постоянные ec1, ec2, . . . , ecn представляют собой решение системы (3.23), то функция yb(t) такова, что
(k) |
(k) |
(t0), k = 0, 1, . . . , n − 1. |
yb |
(t0) = ye |
Следовательно, функции yb(t) и ye(t) являются решениями уравнения (3.19) и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям в точке t0. По теореме о существовании и единственности решения задачи Коши эти функции должны совпадать:
|
|
n |
y(t) = y(t) = |
X |
|
ckyk(t). |
||
e |
b |
e |
k=1
Теорема 3.4.2 доказана.
74 Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений
Следствие 3.4.1. Из теоремы 3.4.2 следует, что уравнение (3.19) не может иметь более n линейно независимых решений.
Покажем, что справедливость этого утверждения существенно связана с тем, что мы предположили, что коэффициент a0(t) всюду отличен от нуля на отрезке [a, b].
Пример 3.4.1. На отрезке [−1, 3] рассмотрим три функции
y1(t) = t, y2(t) = t3, y3(t) = |t|3.
Эти функции линейно независимы на рассматриваемом отрезке и удовлетворяют линейному однородному уравнению второго порядка
t2y00 − 3ty0 + 3y = 0, t [−1, 3],
с коэффициентом a0(t) = t2, который обращается в ноль при t = 0 [−1, 3]
Таким образом, без предположения a0(t) 6= 0 t [a, b] теорема 3.4.2 неверна.
Замечание 3.4.3. Так как все коэффициенты уравнения (3.19) вещественны, то и общее решение естественно искать в классе вещественных функций. Тогда при выборе вещественной фундаментальной системы решений (см. замечание к теореме 3.4.1 ) формула (3.22) для произвольных cj R дает общее вещественнозначное решение линейного однородного уравнения.
3.4.3. Общее решение линейного неоднородного уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами
aj(t), j = 0, . . . , n, a0(t) 6= 0, t [a, b]
и непрерывной на [a, b] правой частью f(t):
a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n−1)(t) + · · · + an−1(t)y0(t) + an(t)y(t) = f(t).(3.24)
Перейдем к описанию общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.24). Определение общего решения этого уравнения аналогично определению общего решения однородного уравнения.