Построение кода Рида - Соломона

Задана длина кода n= 15. Число информационных символовk= 9. Находим минимальное кодовое расстояниеdмин =n–k+ 1= 15 – 9 +1=7. Находим степень порождающего многочлена равнуюdмин – 1 =7 – 1= 6. Порождающий многочлен в соответствии с теоремой Безу записывается в видеg(х) = (х – α)∙(х- α²)∙(х – α³)∙(х – α³)∙(х – α⁴)∙(х – α⁵)∙(х – α⁶) = (х+2)∙(х+4)∙(х+8)∙(х+3)∙(х+6)∙(х+12) =х⁶ + 7х⁵ +9х⁴ +3х³ +12х² +10х + 12.

Здесь использована арифметика полей Галуа и приведённая выше таблица. Примитивный элемент α=2.

Пусть сообщение имеет вид 7,5,10,0,9,1,1,1,9, что соответствует многочлену

P(х) = 9х⁸+ х⁷+х⁶+х⁵+9х⁴+0х³+10х²+5х +7.

Умножим этот многочлен на х⁶, чтобы справа оказалось 6 нулей, вместо которых затем припишем остаток от его деления наg(х) . После умножения получим

P1(х)= 9х¹⁴+ х¹³+х¹²+х¹¹+9х¹⁰+0х⁹+10х⁸+5х⁷+7х⁶.

Слагаемое в многочленах с нулевым коэффициентом пропускают (здесь оно оставлено для наглядности и его можно было не записывать). После деления многочлена P1(х) наg(х) получаем остатокr(х) =13х⁵+ 6х⁴+ 14х³+15х²+15х +3. Прибавляя его кP1(х) получим многочленG(х) кодовой комбинации кода Рида – Соломона.

G(х)= 9х¹⁴+х¹³+х¹²+х¹¹+9х¹⁰+10х⁸+5х⁷+7х⁶+13х⁵+6х⁴+14х³+15х²+15х +3.

Многочлен комбинации кода делится на образующий многочлен g(х) без остатка.

Задание

А) Закодировать кодом Рида-Соломона кодовую комбинацию 9, п1,п2 ,10,0,9,1,1,1,9. Здесь п1,п2 цифры номера М студента в журнале группы. Номер М привести на титульном листе задания.

Б)Проверить правильность кодирования делением полученной кодовой комбинации на g(х).

В) Привести запись полученной кодовой комбинации в двоичном коде (для этого необходимо соответствующие коэффициенты многочлена кодовой комбинации записать четырёхразрядным двоичным кодом.

Привести подробное выполнение пунктов А) и Б) задания.

Защита задания будет заключаться в объяснении выполнения процесса умножения и деления многочленов в арифметике поля Галуа