Третий уровень

[773] Дал правильный многоугольник, у которого нечетное коли­чество сторон - n. Расставьте в его вершинах и на сторонах натуральные числа от 1 до 2*n так, чтобы для любых двух сторон суммы чисел, расположенных на каждой из них, были равны.

Тесты и результаты.

1) n=3. 2 способа: а) 1- 4- 5- 2- 3- 6; b) 1- 5- 3- 4- 2- 6

2) n=5. 2 способа: a) 1- 5- 10- 2- 4- 9- 3- 6- 7-8; b) 3- 6- 10- 3- 4- 5- 8- 2- 7- 9.

[774] Дан правильный многоугольник, у которого нечетное коли­чество сторон - n. Расставьте в его вершинах и на сторонах нату­ральные числа от 1 до 2*n так, чтобы для любых двух сторон суммы цифр чисел, расположенных на каждой из них, были равны.

Тесты и результаты.

n=5. 1-7-6-3-5-10-8-2-4-9.

[775] Дан правильный n - угольник. Расставьте в его вершинах и на сторонах натуральные числа от 1 до 2*n так, чтобы число, стоящее на стороне, равнялось сумме чисел, расположенных на вершинах, примыкающих к данной стороне.

Тесты и результаты.

1) n-3. 2 способа: а) 1- 3- 2- 6- 4- 5, b) 1- 5- 4- 6- 2- 3.

2) n=4. 2 способа: а) 1- 4- 3- 5- 2- 8- 6- 7, b) 1-7- 6-8- 2- 5-3- 4.

3) n=5. Расставить невозможно.

4) n=6. 12 способов. Например: а) 1-3- 2- 7- 5 -11 -6- 10- 4- 12- 8- 9, b) 1- 3- 2-10- 8- 12- 4-9- 5- 11- 6 -7;

5) n=7. 34 способа. Например: 1- 3- 2- 7- 5- 11- 6-14-8- 12- 4-13- 9- 10.

[776] На клетчатой бумаге нарисовали окружность радиуса R, где R - натуральное число. Определите K-количество клеток, целиком лежащих внутри той окружности.

Тесты и результаты.

1) R=5: K=60. 2) R=3; K=16. 3) R=10; K=276. 4) R=30, K=3908. 5) R=50, K=7644.

6) R=100; K=31016. 7)R=15,К=648. 8) R=500; K=783348. 9) R=1000; K=3137548. 10) R=12; K=392.

[777] Трехмерное пространство разбили на кубики с ребром .дли­ной 1. Провели сферу радиуса R, где R - натуральное число, а центр находится в вершине одного из единичных кубиков. Определите К -количество кубиков, целиком лежащих внутри данной сферы.

Тесты и результаты.

1) R=2, K=8. 2) R=3, K=56. 3) R=4,К=136 4) R =5; К=304. 5) R=7; K=1016. 6) R =10; K=3280.

7) R=15; K=12112. 8) R=20; К=29752. 9) R=30; К=104800. 10) R=50. K=500072.

[778] Даны координаты нескольких точек па плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих точек для получения необязательно выпуклого многоугольника наименьшего периметра, вершины которого находятся в данных точ­ках.

[779] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих точек для получения необязательно выпуклого многоугольника наи­меньшей площади, вершины которого находятся н данных точках.

Тесты и результаты.

1) Точки: (1; 2). (2; 4), (3; 6), (4; 3), (1; 4), (4; 6), (5; 3).

Порядок соединения точек:1-4 –5 –3 –6 –2 -7. Наименьшая площадь равна 3,5.

2) Точки: (6; 2). (4; 5). (7; 6), (7; 5), (6, 3), (4; 4), (2; 2).

Порядок соединения точек: 1-4-3-5-2-7-6. Наименьшая площадь равна 4.

[780] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Составьте алгоритм, определяющий последовательность соединения этих то­чек для получения не обязательно выпуклого многоугольника наи­меньшей стоимости, вершины которого находятся в данных точках. Стоимость многоугольника r вычисляется по формуле: r = s*k+p*l, где s - площадь многоугольника, р - периметр многоугольника, k -стоимость одной единицы площади многоугольника, l-стоимость единицы длины периметра многоугольника.

[781] Два многоугольника заданы координатами своих вершин. Найдите координаты их точек пересечения.

Тесты и результаты.

Первый многоугольник: (-4; 0), (0; 2), (8; 2), (8;-3), (5.-6), (0;-4).

Второй многоугольник: (0: 6), (8; -2), (-5; -2), (-7; -2).

Точки пересечения: (4; 2), (8; -1), (-2; -2).

[782] Замкнутая ломаная задана координатами своих вершин. Оп­ределите количество и координаты точек самопересечения.

Тесты и результаты.

1) Ломаная: (-1; 1); (1; 5), (2; 0), (10; 4), (8; 5), (6; -2), (4; 4). Три точки самопересечения.

2) Ломаная:(10;20),(60;70),(60; 10), (20; 50), (70; 50), (30; 10).

Пять точек самопересечения: (30; 40), (40; 50), (60: 50), (60; 40), (45; 28).

[783] Даны координаты нескольких точек на плоскости Никакие три из них не лежат на одной прямой. Площадь любого тpeyгольни­ка с вершинами в данных точках не превосходит единицы. Построй­те такой треугольник с вершинами уже не обязательно в данных точках, который содержит все данные точки и имеет площадь, не превосходящую четырех квадратных единиц.

Тесты и результаты.

N=6. (1; 1),(1; 1.5), (1.5; 2),(2; 2), (2;1). (2.5; 1.5). Треугольник AВС. A(0; 1.5), B(2; 0.5), C(3; 2.5).

[784] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них такие тройки точек, чтобы треугольники с вершинами в этих точках не содержали ни одной из оставшихся точек.

[785] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них такие чет­верки точек, чтобы четырехугольники с вершинами в этих точках имели заданную площадь S.

[786] Даны координаты нескольких точек на плоскости Никакие три из них не лежат на одной прямой. Найдите среди них хотя бы одну такую четверку точек, чтобы четырехугольник с вершинами в этих точках содержал все остальные точки.

Тесты и результаты.

Точки: (-1; 1), (1; 5), (5; 0), (10; 4), (8; 3), (6; -2), (4; 1). (3, 2). Четверка точек: (-1; 1). (1; 5), (10; 4). (6; -2).

[787] Дан круг с радиусом R и центром F(x; у). На координатной плоскости задан также прямоугольник ABCD. Закрасьте общую часть прямоугольника и круга.

[788] Даны действительные числа А1, В1, С1, А2, В2, С2 ... An, Bn, Сn. Эта последовательность определяет на плоскости n квадратов со сторонами, параллельными осям координат: Ai, Bi - координаты центра квадрата, Ci - длина его стороны. Координаты сторон Xi,Yi заданы в числовом интервале (-23; 23). Определите площадь фигу­ры, образованной всеми квадратами. Начертите все квадраты, выде­ляя подсчитываемую площадь.

[789] Имеется n прямоугольников на координатной плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Каждый прямоуголь­ник задается левой нижней и правой верхней вершинами. Начертите все n прямоугольников и закрасьте каждый из них. Найдите пери­метр закрашенной фигуры. При этом подсчитывается не только сумма длин внешних окаймляющих отрезков, но и сумма длин сто­рон внутренних "полостей"

Тесты и результаты.

1) Прямоугольники: n=5. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70, 60); 4) (30; 40) и (60; 70); 5) (20; 40) и (80;90). Периметр закрашенной фигуры: Р=340.

2) Прямоугольники: n= 4. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30, 40) и (60; 70). Периметр за­крашенной фигуры: P=280.

[790] Имеется n прямоугольников на координатной плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Каждый прямоуголь­ник задается левой нижней и правой верхней вершинами. Начертите все n прямоугольников и закрасьте каждый из них. Найдите S0 -площадь всей закрашенной фигуры, S1 - площадь, покрытую только одним прямоугольником, Sk - площадь, покрытую несколькими прямоугольниками,

Тесты и результаты

1) Прямоугольники: n=5. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30; 40) и (60; 70); 5) (20; 40) и (80;90). S0=4600. S1=3100. Sk=1500.

2) Прямоугольники: n=4. 1) (10; 20) и (40; 50); 2) (20; 10) и (60;30); 3) (50; 20) и (70; 60); 4) (30; 40) и (60; 70). S0=2800. S1=2200. Sk=600.

[791] Даны центры и радиусы n окружностей на координатной плоскости. Начертите на экране наибольшее количество окружно­стей, не имеющих друг с другом ни одной общей точки.

[792] На квадратном торте стоит n свечей. Можно ли одним пря­молинейным разрезом разделить его на две равные по площади час­ти так, чтобы одна из частей не содержала ни одной свечи? Свечи необходимо считать точками, каждая из которых задана парой це­лочисленных координат на координатной плоскости. Начало коор­динат совпадает с центром торта, и разрез не может проходить ни через одну свечу.

[793] Даны m точек на плоскости своими координатами: А1(х1;y1), A2(x2;у2),...А(хm; уm). Определите все прямые углы вида A_j ,A_k ,A_p, где j, k, p изменяются в пределах от 1 до m. Подсчитайте количество таких углов.

Тесты.

1) А1(2; 2), А2(2; 4). А3(2; 7). А4(5; 7). А5(5; 4), А6(5; 2).

2) А1(2; 1). А2(2; 4), А3(2; 7), А4(5; 7). А5(5; 4). А6(5; 1).

3) А1(2; 1). А2(2; 2), А3(4; 5). А4(7; 3), А5(7; 1).

4) А1(0; 0), А2(-2; 0), А3(-2; 4), А4(0; 2), А5(2; 2), А6(4; 2), А7(4; 0), А8(2; 0).

5)А1(2;6).А2(2;9),АЗ(7;6).

6)А1(1;1).А2(6;3),АЗ(9;1),А4(6;1).

7) А1(0; 1), А2(-2; 3). А3(0; 5), А4(2; 3). А5(0; 3).

Результаты. Количество прямых углов: 1) 12; 2) 14; 3) 3; 4) 24; 5) 1; 6) 2; 7) 8.

[794] Даны координаты нескольких точек на плоскости. Составьте алгоритм, определяющий вершины многоугольника наименьшей площади, содержащего эти точки.

[795] Проверьте, лежит ли данная точка М внутри многоугольника (не обязательно выпуклого), заданного координатами своих вершин.

Тесты и результаты

1) Многоугольник: (2; 2), (0; 4), (1; 6). (2; 4), (6; 7), (6; 2). М(4; З)- внутри; М(5; 1)- вне; M(1; 1)- вне; М(3; 3)- внутри.

2) Многоугольник: (2; 1). (0; 3). (1; 5), (4; 6), (7; 4), (2; 4). М(1; 3)- внутри; М(5; 2)- вне; М(1; 1)- вне; М(3; 2)- вне.

[796] Кенгуру может прыгать вперед на любое из расстояний от 1 до k. Ей необходимо, двигаясь по координатной прямой, попасть из точки 0 в точку N. Определите, сколькими способами кенгуру мо­жет это сделать, и покажите все эти способы.

Тесты и результаты.

1) N=5; k=4. Способов 15: 1- 1- 1- 1- 1; 1- 1-1- 2; 1- 1- 2- 1; 1-1- 3; 1- 2- 1- 1; 1- 2- 2; 1- 3- 1; 1- 4: 2- 1- 1-1; 2- 1- 2; 2- 2- 1; 2-3; 3-1- 1; 3- 2; 4- 1.

2) N=7; k=3. Способов 44.

3) N=9; k=3. Способов 149.

4) N=9; k=5. Способов 236.

5) N=8; k=3. Способов 81.

6) N= 15; k=2. Способов 987.

7) N= 12; k=2. Способов 233.

[797] Многоугольник, необязательно выпуклый, задан координа­тами своих вершин. Найдите его площадь.

Тесты и результаты.

1) Многоугольник:(1; 1), (1; 5), (6; 5), (4; 4), (6; 3), (5; -1), (3; 3). Площадь равна 13.

2) (1; 1), (1; 5). (2; 5), (3; 3). (3; 5), (6; 5), (6; 3). (5; 3), (5; 4), (4; 3), (4; 1), (5; 2). (6; 2). (6; 0), (3; 0), (3; 2), (2; 2), (2; 1). Площадь равна 18.

[798] Соедините заданные точки на плоскости простой замкнутой ломаной, то есть ломаной без самопересечений.

[799] Заданы n множеств по m точек в каждом. Расстоянием между двумя множествами называется расстояние между наиболее близко расположенными точками этих двух множеств. Определите два множества, расстояние между которыми максимально.

[800] Карта представлена в виде многоугольников. Раскрасьте карту минимальным количеством цветов.

К О М Б И Н А Т О Р И К А.