§3.2. Аналитическая геометрия в пространстве

Основной задачей аналитической геометрии в пространстве является изучение поверхностей, уравнениями которых являются уравнения первой или второй степени.

3.2.1. Плоскость

1⁰. Уравнение поверхности. В аналитической геометрии в пространстве устанавливается соответствие между поверхностью и уравнением. Приведем определение.

Определение. Уравнением поверхности называется уравнение, связывающее три переменныеиz:

, (3.31)

которому удовлетворяют координаты иz всех точек поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Этим определением устанавливается «двустороняя» связь между уравнениями и множествами точек пространства. Любому уравнению (3.31) ставится в соответствие некоторое множество точек (здесь – некоторая поверхность). С другой стороны, для некоторого множества точек пространства удается получить уравнения вида (3.31) по заданным (условиями задачи) ее свойствам.

Здесь так же, как и в аналитической геометрии на плоскости, рассматриваются две основные задачи: 1) дана поверхность, найти ее уравнение; 2) дано уравнение, найти определяемую им поверхность.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости, пересекающую осьв точке.

Решение. Возьмем на плоскости текущую точкуи пусть– радиус-вектор этой точки. Так как проекция радиуса-вектора точки, не лежащей на плоскости, отлична от 2, то уравнениеи есть искомое уравнение.

Пример 2. В §2.2,п.8⁰приведен пример составления уравнения сферы.

Пример 3. Уравнениеопределяет плоскость, параллельную плоскости: все решения этого уравнения имеют вид, гдеx иz– любые числа. Для радиуса векторасоответствующей точкиMнаходим: пр, что означает, что конец радиус-векторанаходится в плоскости, перпендикулярной осии пересекающей ее в точке с ординатой, равной –3.

Пример 4. Уравнениюудовлетворяют координаты любой точки из примера 3, но ему также удовлетворяют координаты точек M’. Повторяя сказанное в примере три, заключаем, что уравнениеопределяет пару параллельных плоскостей с уравнениями:и.

Пример 5. Уравнениене имеет решений и, следовательно, оно не определяет какое-либо геометрическое место (говорят также, что оно определяет «мнимую» сферу).

2⁰. Основная теорема о плоскости. Приведем основную теорему о плоскости и обратную (ей) теорему.

Теорема. Всякая плоскостьв прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением первой степени

. (3.32)

Доказательство. Уравнение плоскости определено, если указаны лежащая на ней точкаи нормальный к этой плоскости вектор.

Возьмем текущую точку . Очевидно, точкатогда и только тогда лежит на плоскости, когда векторыи=ортогональны (│); отсюда следует, что их скалярное произведение (см.п.2.3.1,2⁰,1))

, (3.32’)

или, в координатной форме, формула (2.39)

. (3.32”)

Раскрывая скобки, вводя обозначение , придем к выражению (3.32).

Замечание. Уравнение (3.32) называется общим уравнением плоскости (также уравнением плоскости в общем виде).

Приведем теорему, обратную основной теореме о плоскости.

Теорема. Всякое уравнение первой степени (3.32) в декартовой прямоугольной системе координат определяет (некоторую) плоскость.

Доказательство. Пусть дано уравнение (3.32). Покажем, что это уравнение определяет некоторую плоскость.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (3.32):, откуда. Тогда уравнение (3.32) можно переписать в виде (3.32”):и, стало быть, этому уравнению, действительно, соответствует некоторая плоскость.