- •Тема 1. Предмет и метод эконометрики
- •1. Спецификация модели.
- •2. Линейная регрессия и корреляция.
- •3. Нелинейная регрессия.
- •Тема 3. Множественная регрессия и корреляция.
- •1. Спецификация модели.
- •Тема 4. Системы эконометрических уравнений
- •1. Понятие и виды систем уравнений.
- •2. Структурная и приведенная формы модели.
- •3. Идентификация систем уравнений.
- •Тема 5. Моделирование одномерных временных рядов
- •Тема 6. Изучение взаимосвязей по временным рядам
- •1. Метод отклонений от тренда
- •2. Метод последовательных разностей
- •3. Включение в модель регрессии фактора времени
- •Тема 7. Динамические эконометрические модели
Тема 6. Изучение взаимосвязей по временным рядам
1. Метод отклонений от тренда
Пусть имеются два временных ряда xt и уt каждый из которых содержит трендовую компоненту Τ и случайную компоненту ε. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровниисоответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты T каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от трендаипри условии, что последние не содержат тенденции.
Содержательная интерпретация параметров полученной модели затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признакаи с помощью одного из методов оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового. Далее по уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение, а по уравнению регрессии по отклонениям от трендов находят величину отклонения . Затем находят точечный прогноз фактического значения yt по формуле
2. Метод последовательных разностей
В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод — метод последовательных разностей.
Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).
Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.
При всейсвоей простоте метод последовательных разностей имеет два существенных недостатка. Во-первых, его применение связано с сокращением числа пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, и, следовательно, с потерей числа степеней свободы. Во-вторых, использование вместо исходных уровней временных рядов их приростов или ускорений приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных.
3. Включение в модель регрессии фактора времени
В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.
Модель вида
относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.
Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения yt и xt есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК. Расчет и интерпретацию параметров покажем на примере.
Автокорреляция в остатках.
Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки εt должны быть случайными (рис. 1 а). Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (рис. 1 б) и в)) или циклические колебания (рис.1 г)). Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.
Рис. 1. Модели зависимости остатков от времени
а— случайные остатки; б — возрастающая тенденция в остатках;
в - убывающая тенденция в остатках;
г - циклические колебания в остатках
Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод - это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод — использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины
Соотношение между критерием Дарбина — Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и= 1, тоd = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то= -1 и, следовательно,d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то= 0 иd = 2. Следовательно,
0 ≤ d ≤ 4.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и H*1 состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение) определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 — α) рассматривается на рис. 2.
Рис. 2. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков
Если фактическое значение критерия Дарбина — Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.
Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина — Уотсона.
Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.
Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина — Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы, рассмотрение которых выходит за рамки данного учебника.
В-третьих, критерий Дарбина — Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. В этом смысле результаты примера 6.4 нельзя считать достоверными ввиду чрезвычайно малого числа наблюдений n = 7, по которым построена модель регрессии.