12.3. Аналитическое выравнивание ряда динамики.

Наиболее точным и эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, описываемой аналитическим выражением. Предполагается, что теоретическая кривая свободна от всевозможных колебаний и поэтому наиболее точно отображает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики, его уровни выражаются в виде функции времени.

(12.1)

где – теоретический уровень ряда динамики, вычисленный по определенному

аналитическом выражению на момент времени .

Чаще всего при аналитическом выравнивании используются следующие математические зависимости:

• линейная (уравнение прямой):

(12.2)

• параболическая (уравнение параболы):

(12.3)

• экспоненциальная (уравнение экспоненты):

(12.4)

• гиперболическая (уравнение гиперболы):

(12.5)

Выбор формы кривой во многом определяет результаты выявления тренда. Основанием для выбора формы кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней ряда динамики (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы кривой (вида уравнения). Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные и периодические колебания в некоторой степени оказываются сглаженными.

При выборе вида аналитической кривойдля выравнивания ряда динамики можно воспользоваться следующими рекомендациями.

1. Линейная зависимостьиспользуется в том случае, когда в исходном ряде динамики наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2. Параболическаязависимостьвыбирается в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

3. Экспоненциальные зависимости, если в исходном динамическом ряде наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии точного постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста).

Для решения уравнений аналитических кривых (формулы 12.2 – 12.5) в большинстве случаев используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных (теоретических).

(12.6)

Рассмотрим технику аналитического выравнивания ряда динамики с использованием уравнения прямой, имеющей наиболее простое выражение, на следующем примере.

Пример. Имеются данные за последние 10 лет по заводу, где производятся запасные части для тракторов. Эти данные приведены в табл. 12.3.

1. Для того, чтобы выдвинуть гипотезу о предполагаемом законе распределения уровней ряда динамики, построим график зависимости выпуска продукции от времени. Такой график для нашего примера представлен на рис. 12.1.

Таблица 12.3

Выпуск продукции на заводе (тыс. шт.)

Годы	Выпуск продук­ции, ()
1991	39,4	-9	81	-354,60	39,43
1992	39,8	-7	49	-278,60	39,84
1993	40,0	-5	25	-200,00	40,25
1994	40,6	-3	9	-121,80	40,66
1995	41,4	-1	1	-41,40	41,07
1996	41,9	+1	1	41,90	41,47
1997	41,9	+3	9	125,70	41,88
1998	42,0	+5	25	210,00	42,29
1999	42,6	+7	49	298,20	42,70
2000	43,1	+9	81	387,90	43,11
Итого:	412,7	0	330	67,30	412,70

Рис. 12.1. Динамика выпуска продукции по годам

(ряд 1 – фактические данные (); ряд 2 – выровненные данные ()).

2. По характеру фактических уровней, принимаем гипотезу о существовании прямолинейного тренда (динамика выпуска характеризуется прямой линией).

3. Запишем уравнение прямой .

4. Решить это уравнение – значит найти параметры иискомой прямой. Наиболее просто найти значение этих параметров можно, воспользовавшисьметодом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений:

(12.7)

где – число членов ряда динамики;

– фактические уровни ряда динамики.

Система уравнений упрощается, если подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда:

и(12.8, 12.9)

В табл. 12.3 производим необходимые расчеты и тогда:

и

Подставим найденные параметры ив уравнение прямой. Искомое уравнение будет иметь вид:

По уравнению найдем расчетные значения выровненных уровней ряда динамики, подставляя в него значения из табл. 12.3.

Полученное уравнение, описывающее исследуемый ряд динамики, показывает, что средний уровень производства деталей составляет 41,27 тыс. шт.в год и ежегодно увеличивается в среднем на0,20 тыс. штукв год. Сумма уравнений эмпирического ряда полностью совпадает с суммой расчетных значений выровненного ряда.

Аналогичным способом производится аналитическое выравнивание рядов динамики с использованием других уравнений кривых. Однако каждой кривой соответствует своя система нормальных уравнений. Так, например, для решения уравнения параболы система уравнений имеет вид:

(12.10)

Для решения экспоненциального уравнения, система нормальных уравнений имеет вид:

(12.11)