Матан
.pdf
|
1.Дайте определение вектора и его координат. |
|
перейти |
|
|
|
2.Расскажите о линейных операциях над векторами. |
|
перейти |
|
|
|
3.Дайте определение скалярного произведения векторов. Расскажите о его свойствах. |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Дайте определение векторного произведения и расскажите о его свойствах. |
|
перейти |
|
|
|
5.Дайте определение смешанного произведения и расскажите о его свойствах. |
|
перейти |
|
|
|
6.Объясните, что такое система координат. Какие вы знаете системы координат? |
|
перейти |
|
|
|
7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению? |
|
перейти |
|
|
|
8.Как находится расстояние от точки до прямой? |
|
перейти |
|
|
|
9.Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых? |
|
перейти |
|
|
|
10.Что такое общее уравнение плоскости в пространстве? Что можно узнать о |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
плоскости по ее уравнению? |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
11.Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности. |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
Расстояние от точки до плоскости. |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
12.Как задается прямая в пространстве? Что такое ее канонические уравнения? |
|
перейти |
|
|
|
13.Угол между прямыми, их параллельность и перпендикулярность. 14.Что такое |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
кривые 2-го порядка? |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
14. Что такое кривые второго порядка? |
|
перейти |
|
|
|
15.Напишите канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
Как они выглядят? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.Что такое поверхности 2-го порядка? |
|
перейти |
|
|
|
17.Напишите |
уравнения сферы и обоих параболоидов. Как они выглядят? |
|
перейти |
|
|
18.Что такое числовая последовательность? Приведите примеры. |
|
перейти |
|
|
|
19.Что такое неперово число е? Каково его приближенное значение? |
|
перейти |
|
|
|
20.Что такое предел последовательности? Приведите примеры. |
|
перейти |
|
|
|
21.Что такое график функции? Нарисуйте графики основных элементарных функций. |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.Что такое предел функции? Приведите примеры. |
|
перейти |
|
|
|
23.Что такое 1-й замечательный предел? |
|
перейти |
|
|
|
24.Что такое 2-й замечательный предел? |
|
перейти |
|
|
|
|
|
|
|
|
25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры. |
перейти |
|
|
||
26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры. |
перейти |
|
27.Что такое односторонние пределы и точки разрыва? Приведите примеры. |
перейти |
|
(28)77.Что такое линейная система уравнений? Какие системы называют |
перейти |
|
равносильными? Примеры. |
||
|
||
(29)78.Что такое элементарные преобразования? |
перейти |
|
(30)79.Что такое ступенчатая система? Примеры. |
перейти |
|
(31)80.Как произвольная линейная система приводится к ступенчатому виду? |
перейти |
|
Рассмотрите пример. |
||
|
||
(32)81.Как по Гауссу решается ступенчатая линейная система? Пример. |
перейти |
|
(33)82.Как устроено множество решений линейной системы уравнений? Примеры. |
перейти |
|
(34)83.Что такое главные и свободные неизвестные системы? Примеры. |
перейти |
|
(35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры. |
перейти |
|
(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры. |
перейти |
|
(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? |
перейти |
|
Примеры. |
||
|
||
(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что |
перейти |
|
умножение матриц не коммутативно. |
||
|
||
(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная |
перейти |
|
матрица? |
||
|
||
(40)89.Что такое обратимая матрица? Условия обратимости. |
перейти |
|
(41)90.Определение определителя. Пример его вычисления. |
перейти |
|
(42)91.Как меняется определитель под действием элементарных преобразований? |
перейти |
|
(43)92.Что такое треугольный определитель? Как он вычисляется? |
перейти |
1.Дайте определение вектора и его координат
Вектором( на плоскости или в пространстве) называют всякий направленный отрезок.
Всякий вектор можно выразить через единичный вектор (i,j)( координатные оси или орты)
- координаты вектора a
↑ назад в содержание ↑
2.Расскажите о линейных операциях над векторами.
1) сложение векторов
Сумму векторов определяют двумя равносильными способами:
а) суммой двух векторов называют диагональ параллелограмма построенного на этих векторах
b) Совместим начало второго вектора с концом первого. Суммой таких векторов считается замыкающаяся ломанной, образованной данным вектором
Свободные:
Операция сложения обладает следующими свойствами:
1. коммуникативность
2. ассоциативность
Нулевым считается вектор, конец которого совпадает с началом:
3.
Результат сложения нескольких векторов как и суммы |
изображается замыкающейся |
соответствующих векторов: |
|
В частности сумма нескольких векторов равна 0 (т.е. вектор равен 0) в точности тогда, когда конец соответствующей ломанной совпадает с ее началом.
2. умножение векторов на число
Определение: |
|
|
|
Пусть |
некоторый вектор, а |
- действительное число |
. Вектор |
определяется следующими условиями: |
|
|
-он лежит на той же прямой, что и вектор
-его длина
-он направлен в ту же сторону, что и , если и в противоположную, если
.
(действительные числа в векторной алгебре называют так же скалярами)
Некоторые свойства этой операции:
↑ назад в содержание ↑
3.Дайте определение скалярного произведения векторов. Расскажите о его свойствах.
Скалярным произведение векторов называют скаляр выражающийся по формуле :
,- угол между .
- так же скаляр Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) Скалярное произведение не зависит от перемножения
2)
3)
4)
↑ назад в содержание ↑
4.Дайте определение векторного произведения и расскажите о его свойствах.
считаются образующими правую тройку, если 3 первых пальца правой руки можно одновременно ориентировать в направлениях этих векторов.
- правая тройка
- левая тройка
Если образуют правую тройку, то тройка векторов полученная из этой перестановки любых двух оказывается левой ( и наоборот)
Определение векторного произведения:
Векторным произведение векторов |
называется такой вектор, обозначаемый |
и определяемый следующими тремя условиями:
1)
2)
3)
1.
2.
Свойства векторного произведения :
1.
2.
3.
↑ назад в содержание ↑
5.Дайте определение смешанного произведения и расскажите о его свойствах.
Смешанное произведение определяется для трех векторов
Покажем, что модуль смешанного произведения есть объем параллелепипеда построенного а перемножении векторов.
Эта формула позволит вычислить объемы параллелепипеда, а поэтому и пирамиды Получим теперь формулу выражающую смешанное произведение через координатное сомножение
Сумма из трех больших чисел вектора компланарная.
Свойства смешанного произведения:
Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение так же равно нулю, если хотя бы два умножаемых равны
↑ назад в содержание ↑
6.Объясните, что такое система координат. Какие вы знаете системы координат?
Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, т.е. способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Система координат необходима для изучения геометрических объектов с помощью уравнений, неравенств и других условий.
Системы координат бывают:
Декартовая система координат
Полярная система координат
↑ назад в содержание ↑
7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению?
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где , и — произвольные постоянные, причем постоянные и не равны нулю одновременно. Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.
При прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде
Уравнение прямой y=kx+b
Из уравнения прямой можно узнать где прямая пересекает оси Оx и Оy
↑ назад в содержание ↑
8.Как находится расстояние от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой – определение.
Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.
Определение.
Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.
Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.
Определение.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.
Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.
Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы
всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .