- •Раздел 1.Введение в математичекий анализ.
- •1. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций.
- •2. Предел функции.
- •2.1. Предел функции в точке на языке (по Коши).
- •2.2. Односторонние пределы.
- •Классификация точек разрыва.
- •2.5. Бесконечно большие функции.
- •Свойства бесконечно больших величин (ббв).
- •Связь бесконечно малых (бм) с пределами функций.
- •. Свойства бесконечно малых (бм) функций.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •2.7. Основные теоремы о пределах.
2.2. Односторонние пределы.
Если исследовать поведение функции слева (или справа) от точки, то есть, при стремлении к точкеаргументфункциипринимает значения только меньшие (или большие), то приходим к понятиюодносторонних пределов.
Определение. Число называется пределом функциислева при стремящемся ки пишут
,
если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число, зависящее от, то есть, такое, что для всехиз интервала
(3)
выполняется неравенство
. (4)
Аналогично определяется предел функции справа для значенийх из интервала .
Отметим, что левый и правый пределы могут оказаться неравными.
2.3. Необходимое и достаточное условия
существования предела функции в точке.
Теорема. Для того чтобы функция имела предел в точкенеобходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал правый и левый пределы, и они были равны:
. (5)
2.4. Непрерывность функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Определение. Функция называется непрерывной в точке, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке(то есть существует); 2) имеет конечный предел при; 3) этот предел равен значению функции в этой точке:.
Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Если функция не является непрерывной в точке(не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности), то точка называетсяточкой разрыва, а сама функция -разрывной.
Классификация точек разрыва.
Различают точки разрыва первого и второго рода.
Определение.Точка называетсяточкой разрыва первого рода, если:
1) оба односторонних предела существуют и конечны, но они не равны между собой
(конечный разрыв, скачок функции),
либо
2) они равны между собой, но не равны значению функции в данной точке
(устранимый разрыв).
В первом случае (рис.3,а) имеем конечный скачок функции в точке , равный:
.
Определение. Точка называетсяточкой разрыва второго рода, если один или оба односторонних предела равны бесконечности (рис 3.б - бесконечный разрыв), или не существуют.
у у
1 М
0 х 0 3 х
а) б)
Рис. 3. Разрывы первого (конечный разрыв) и второго рода (бесконечный разрыв).
2.5. Бесконечно большие функции.
В точке бесконечного разрыва функция стремится к бесконечности при. Дадим определение предела функции в этом случае.
Определение. Функция стремится к бесконечности при и называется бесконечно большой величиной при если для любого сколь угодно большого положительного числа найдется положительное число, зависящее от, то есть, такое, что для всехи удовлетворяющих условию
(6)
выполняется неравенство
. (7)
Этот факт записывают следующим образом:
(8)
Аналогично вводится понятие бесконечно большой функции в точке справа и слева (рис.3.б):
;.
Функция пристремится к бесконечности и при этом принимает только отрицательные значения, а при- только положительные.
Отметим, что функция может не иметь предела. Например, функцияприне имеет ни конечного, ни бесконечного предела.