Теоретические вопросы. Теория вероятностей и математическая статистика
1.Элементы комбинаторики. Классические и геометрические вероятности.
2.Вероятностная схема. Основные теоремы теории вероятности.
3. Формулы полной вероятности и Байеса.
4. Последовательные испытания, приближения Лапласа и Пуассона.
5. Дискретные случайные величины. Закон распределения, числовые характеристики и их свойства.
6.Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность. Числовые характеристики непрерывных случайных величин их свойства.
7. Некоторые законы распределения дискретных сл. величин: биноминальный, Пуассона. Свойства.
8. Некоторые законы распределения непрерывных сл. величин: нормальный, экспоненциальный, равномерный. Свойства.
9. Элементы статистики.
10. Задачи математической статистики. Анализ выборочных данных репрезентативность выборки.
11. Основные понятия и определения в задаче первичной обработки результатов наблюдения (выборка, вариационный ряд и т. д.).
12. Моделирование случайной величины с заданным законом распределения (одноименная лабораторная работа).
13. Точечные оценки параметров распределения случайных величин (параметров генеральной совокупности). Общее определение и свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность (оптимальность).
14. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли.
15. Оценка математического ожидания случайной величины (генеральной средней) – выборочное среднее. Свойства .
16. Оценка дисперсии случайной величины (генеральной дисперсии) – выборочная дисперсия в двух случаях: при известном и неизвестном математическом ожидании.
17. Несмещенная оценка дисперсии случайной величины (генеральной дисперсии) в двух случаях: при известном и неизвестном математическом ожидании.
18. Понятие интервального оценивания параметров распределения. Доверительная вероятность.
19. Распределения вероятностей, связанные с нормальным законом. Распределения (хи-квадрат).
20. Проверка гипотез о параметрах распределения в нормальной модели.
21. Критерий Пирсона проверки статистических гипотез о законе распределения и схема его применения.
6.2. Примерный перечень задач для самостоятельного
-
Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Какова вероятность того, что снова получится ваша фамилия.
-
В лотереи участвуют N билетов, из которых M выигрышных. Купили K билетов.
Какова вероятность, что L из них выигрышные?
-
Среди производимых первым заводом ламп 8% бракованных, вторым заводом – 7%
бракованных, третьим заводом – 6% брака. В партии из 1000 ламп n изготовлено первым заводом, m – вторым, остальные – третьим. Какова вероятность того, что:
а) выбранная наугад лампа бракованная;
б) выбранная наугад лампа изготовлена на первом заводе, при условии, что она оказалась бракованной.
-
Произведено 100 независимых испытаний таких, что вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,8. Какова вероятность того, что:
а) число успехов в этих испытаниях равно k1;
б) число успехов в этих испытаниях не меньше k1 и не больше k2.
-
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна p1, вторым – равна p2, а
третьим стрелком равна p3. Построить случайную величину, равную числу попаданий в цель при одновременном залпе трех стрелков. Вычислить для нее математическое ожидание и дисперсию.
-
Построить биномиальный закон распределения с параметрами n, p (p=p2 из задачи 5).
Вычислить для него математическое ожидание и дисперсию.
-
Функция распределения случайной величины равна
Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также .
8. Известны математическое ожидание a и дисперсия b случайной величины , распределенной по нормальному закону. Найти .
Данные для задач 2-8: Данные для задач 2-8:
Вариант |
Номер задачи |
||||||||||||||||
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 и 8 |
||||||||||||
N |
M |
K |
L |
n |
m |
k1 |
k2 |
p1 |
p2 |
p3 |
n |
p |
a |
b |
a |
b |
|
|
30 |
5 |
3 |
2 |
250 |
350 |
71 |
81 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
3 |
|
0 |
5 |
1 |
3 |
|
30 |
3 |
3 |
1 |
260 |
350 |
72 |
82 |
0,8 |
0,6 |
0,7 |
3 |
|
0 |
4 |
0,5 |
1 |
|
30 |
4 |
3 |
1 |
270 |
400 |
73 |
83 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
4 |
|
0 |
3 |
0,5 |
0,7 |
|
30 |
4 |
3 |
2 |
280 |
300 |
74 |
84 |
0,8 |
0,7 |
0,5 |
4 |
|
0 |
4 |
0,6 |
2 |
|
30 |
3 |
2 |
1 |
290 |
320 |
75 |
85 |
0,8 |
0,4 |
0,3 |
4 |
|
0 |
3 |
0,4 |
0,6 |
|
25 |
4 |
3 |
2 |
300 |
330 |
76 |
86 |
0,8 |
0,5 |
0,7 |
4 |
|
1 |
3 |
0,3 |
1,5 |
|
25 |
4 |
3 |
1 |
320 |
320 |
77 |
87 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
3 |
|
1 |
2 |
1,2 |
1,5 |
|
25 |
3 |
2 |
2 |
340 |
330 |
78 |
88 |
0,7 |
0,4 |
0,5 |
3 |
|
1 |
3 |
1,5 |
3 |
|
25 |
3 |
2 |
1 |
360 |
350 |
79 |
89 |
0,7 |
0,5 |
0,8 |
4 |
|
1 |
4 |
1,5 |
2 |
|
25 |
2 |
2 |
0 |
380 |
400 |
80 |
90 |
0,7 |
0,3 |
0,5 |
4 |
|
1 |
2 |
1,2 |
1,6 |
|
20 |
5 |
4 |
3 |
400 |
200 |
81 |
90 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
4 |
|
-1 |
3 |
-2 |
1,5 |
|
20 |
5 |
4 |
2 |
400 |
230 |
82 |
90 |
0,6 |
0,7 |
0,3 |
3 |
|
-1 |
2 |
0 |
0.5 |
|
20 |
5 |
3 |
2 |
420 |
240 |
83 |
90 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
3 |
|
-1 |
4 |
-1 |
0 |
|
20 |
4 |
4 |
1 |
420 |
280 |
84 |
95 |
0,6 |
0,8 |
0,5 |
3 |
|
-1 |
3 |
0,5 |
2 |
|
20 |
4 |
6 |
2 |
440 |
220 |
85 |
95 |
0,7 |
0,9 |
0,8 |
3 |
|
-1 |
2 |
0,5 |
0,7 |
|
20 |
4 |
5 |
2 |
440 |
320 |
86 |
95 |
0,6 |
0,7 |
0,5 |
3 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
|
20 |
4 |
3 |
2 |
450 |
200 |
70 |
95 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
4 |
|
2 |
2 |
1,5 |
2,5 |
|
20 |
3 |
4 |
1 |
450 |
250 |
70 |
90 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
3 |
|
2 |
3 |
2,5 |
3 |
|
20 |
3 |
5 |
2 |
350 |
250 |
68 |
80 |
0,5 |
0,8 |
0,9 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
2,5 |
|
20 |
3 |
6 |
1 |
350 |
300 |
68 |
75 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
3 |
|
2 |
2 |
2,5 |
2,7 |
|
18 |
5 |
3 |
2 |
240 |
260 |
66 |
78 |
0,6 |
0,7 |
0,4 |
4 |
|
3 |
2 |
3 |
3,5 |
|
15 |
4 |
5 |
3 |
250 |
340 |
65 |
70 |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
5 |
|
3 |
2 |
2 |
3.5 |
|
15 |
4 |
3 |
2 |
340 |
300 |
64 |
78 |
0,4 |
0,4 |
0,7 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
3,6 |
|
15 |
3 |
5 |
2 |
260 |
300 |
62 |
80 |
0,5 |
0,6 |
0,9 |
4 |
|
3 |
3 |
2,4 |
3,5 |
|
16 |
3 |
3 |
1 |
230 |
280 |
60 |
84 |
0,4 |
0,7 |
0,6 |
3 |
|
3 |
3 |
3,5 |
3,6 |
|
16 |
4 |
5 |
3 |
270 |
450 |
56 |
85 |
0,2 |
0,6 |
0,7 |
3 |
|
3 |
1 |
3,5 |
3,8 |
|
16 |
4 |
3 |
2 |
340 |
360 |
55 |
88 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
3 |
|
3 |
1 |
3,2 |
4 |
|
18 |
4 |
5 |
3 |
260 |
400 |
58 |
68 |
0,4 |
0,9 |
0,7 |
3 |
|
4 |
1 |
4,2 |
5 |
|
18 |
3 |
7 |
2 |
280 |
420 |
54 |
65 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
3 |
|
4 |
2 |
4,1 |
4,5 |
|
18 |
5 |
6 |
3 |
330 |
410 |
50 |
58 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
3 |
|
4 |
2 |
4,5 |
5 |
Задача №9
Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины
Вычислить: а) безусловные законы распределения компонент;
б) условные законы распределения компонент;
в) центр рассеивания;
г) коэффициент корреляции .
вар. 1-5
0 |
1 |
|
1 |
0,2 |
0,3 |
2 |
0,1 |
0,4 |
2 |
4 |
|
1 |
0,3 |
0,3 |
2 |
0,1 |
0,3 |
вар.6-10
вар. 11-15
вар. 16-20
1 |
2 |
|
0 |
0,4 |
0,3 |
2 |
0,1 |
0,2 |
0 |
1 |
|
1 |
0,5 |
0,3 |
2 |
0,1 |
0,1 |
вар. 21-25
0 |
1 |
|
1 |
0,1 |
0,2 |
2 |
0,3 |
0,4 |
1 |
3 |
|
1 |
0,1 |
0,3 |
2 |
0,2 |
0,4 |