- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.
1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0, 3x-2y+1=0.
2. Область D задана неравенствами .
3. Область D – треугольник со сторонами .
14.2.2. Повторный интеграл
Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразнойF(x,y) дляпо переменному “y”, проинтегрированное по переменному “x” , т.е.
.
Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразнойФ(x,y) для f(x,y) по переменному “x”, проинтегрированное по переменному “y”, т.е.
=.
Пример 3. Вычислить повторный интеграл .
интегрируя внутренний интеграл по “y”, полагаем “x” постоянным=
= .
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить повторные интегралы.
4. . 5.6.. 7., если .
14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл, 2) существует повторный интеграл, то
(2.3)
Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл, 2) существует повторный интеграл, то
. (2.4)
Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.
Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .
Рис.14.7
. Итак, ===.
Пример 5. Вычислить по областиD, ограниченной линиями и.
Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол ирешаем уравнение , откуда имеем действительные корни,. Таким образом, параболы пересекаются в точках( рис. 14.8). РассматриваяD как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)
Рис.14.8 а)
=.
Если областьD рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)
=
Рис.14.8.б
=.
Задачи для самостоятельного решения
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
8. . 9..
10. . 11..
Перейти от двойного интеграла по конечной областиD к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:
12. Область D – параллелограмм со сторонами .
13. .14. .
15. - треугольник со сторонами .
16. .
17. - треугольник с вершинами.
18. D – сегмент, ограниченный линиями .
Вычислить двойные интегралы:
19. . 20.-круг .
21. - область, ограниченная линиями.
22. - область, ограниченная линиями.
23. - область, ограниченная линиями.
24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.
25. - область, ограниченная параболойи прямой.
26. , еслиD ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды ,,.