Задание 10

Найти точку , симметричную точке М относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-30):

1. ,.
2. ,.
3. ,.
4. ,.
5. ,.
6. ,.
7. ,.
8. ,.
9. ,.
10. ,.
11. ,.
12. ,.
13. ,.
14. ,.
15. ,.
16. ,.
17. ,.
18. ,.
19. ,.
20. ,.
21. ,.
22. ,.
23. ,.
24. ,.
25. ,.
26. ,.
27. ,.
28. ,.
29. ,.
30. ,.

Задание 11

Дана матрица А. Найти матрицу А^-1обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А^. А^-1. Решить задачу а) воспользовавшись определением обратной матрицы. б) по методу Гаусса.

Задание 12

Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Пример выполнения контрольной работы

Задача 1.

Если принять полюс за начало декартовых координат, а полярную ось за ось Ох, то декартовы координаты точки М и ее полярные координатыбудут связаны зависимостямиили

Из этих формул следует, что

Пример 1. Дано уравнение линии в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке, придавая значенияс шагом. Построить линию. Записать ее уравнение в декартовой системе координат.

Составим таблицу значений функции .

	0
	1	1,05	1,24	1,7	3	12,8	-7,2	-3,5	-3
	-3	-3,5	-7,2	12,8	3	1,7	1,24	1,05	1

Значения функции нужно вычислять только для верхней части таблицы, нижняя часть повторяет значения верхней в обратном порядке. Строим точки, полярные координаты которых заданы таблицей. Проведем лучи ,, …,. Положительные значенияотложим от полюса по соответствующему лучу, а отрицательные – по продолжению луча за полюс.

Запишем уравнение линии в декартовых координатах:

. Упрощая уравнение, получим ;;;. Получаем нормальное уравнение гиперболы с центром в точке С(2, 0).

З а д а ч а 2

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (1)

где А, В – координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору:

. (2)

Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору, имеет вид

. (3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и:

(4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данной направлении, имеет вид

(5)

где - угловой коэффициент прямой,- угол, образованный прямой с положительным направлением на оси ОХ.

у

х

0

Если прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид

. (6)

Уравнение (7)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой от оси ОУ.

у

b

х

Пусть две прямые заданы общими уравнениями

.

Если , то.

Если , то.

Если , то.

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

.

Если , то.

Если , то.

Если , то.

Расстояние от точкидо прямойвычисляется по формуле

(8)

Пример 2

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

О

В С

М

Решение

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ;;.

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ;.

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

З а д а ч а 3

Пример 3

Через точку М(3, 5) провести прямую так, чтобы она отсекала от координатного угла равнобедренный треугольник.

«Провести прямую» - это значит записать уравнение прямой, при этом делать чертеж и проводить прямую не обязательно.

Будем искать уравнение прямой в отрезках, т. е. в форме , гдеa и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. По условию задачи и прямая проходит через точку М(3, 5). Следовательно,. Для определения а иb имеем две системы: и

Решение первой системы: , решение второй системы:. Получаем две прямые:и