s2_matan_kol_shpore_html_pdf
.pdfі диференційовані на J і її похідна обчислюється за формулою:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x, |
|
dx |
f |
|
|
|
, |
|
|
|
|
f |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. Позначимо праву частину рівності (6) як g |
|
і для довільної точки |
J і |
|
|
h : |
h J |
||||||||||||||||||||||||||||
розглянемо приріст функції |
в точці |
|
та оцінимо вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
h) |
|
( ) |
g( )h |
|
|
|
f (x, |
|
h) |
f (x, ) |
|
(x, ) dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f (x, |
|
h) |
f ( ( ), ) |
( )h dx |
|
|
|
|
|
f (x, |
h) |
|
f ( ( ), ) ( )h dx |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
За |
попередньою |
теоремою |
першій |
доданок є |
o |
h |
|
, |
легко |
|
також |
оцінити |
два |
інших |
доданки: |
||||||||||||||||||||||||
( |
|
h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, |
|
h)dx |
|
( |
|
h) |
|
|
( |
) |
f ( |
, |
|
h) |
( |
( |
)h |
o(h)) f ( , |
h) , де |
- |
проміжна |
|||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точка, між |
( |
) та |
( |
|
h) . З неперервності |
|
f , |
маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f ( |
, |
|
h) |
f ( |
( |
), |
) |
( |
) |
|
|
0 при h |
|
0. Тоді маємо таку оцінку різниці: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, |
|
h) |
|
f ( ( ), ) |
( )h dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )h f ( |
, |
h) |
o(h) |
|
|
( |
)hf ( ( ), |
) |
|
|
o(h) |
, аналогічно |
оцінюється |
третій |
доданок. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Підсумовуючи все це маємо формулу (6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай тепер I1 |
[a,b], I 2 |
[c, d ] , E |
I1 |
I 2 , |
f |
C(R) тоді можна визначити неперервні функції |
|||
|
b |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
F : |
f (x, )dx, |
I 2 , |
: x f (x, |
)d |
, |
x |
I1 на своїх областях визначення. Позначимо: |
|||
|
a |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
d |
d |
b |
|
|
d |
b |
|
|
|
|
A |
F( )d |
|
f (x, )dx d |
|
d f (x, )dx , |
|
||||
c |
c |
a |
|
|
c |
a |
|
|
|
|
b |
b |
d |
|
|
b |
d |
|
|
|
|
B |
(x)dx |
f (x, )d dx |
dx f (x, )d . |
|
||||||
a |
a |
c |
|
|
a |
c |
|
|
|
|
Інтеграли A, B називаються повторними.
#23. Інтегрування власного інтеграла, залежного від параметра.
Теорема (Інтегрування по параметру ІЗП)
5.
|
Якщо f |
C(R) , то A B . |
|
|
|
|
|
Доведення. Розглянемо дві функції: |
|
|
|||||
t |
b |
|
b |
t |
, t [c, d ] . |
|
|
: t d |
f (x, )dx , t [c, d ] , |
: t dx f (x, )d |
|
||||
c |
a |
|
a |
c |
|
|
|
Легко побачити за теоремою 3, що |
|
b |
t [c, d ] , а |
||||
(t) |
f (x, t)dx (t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
також |
(c) (c) 0 . |
З останньої умови та тотожності |
слідує |
||||
рівність |
, а тому при t |
d маємо, що A |
B . |
|
Теорема доведена.
Зауважимо, що усі наведені теореми цього розділу є лише достатніми умовами.
#24. Невласні інтеграли, залежні від параметра: означення, рівномірна збіжність, зв/язок з ф.п. та ф.р. (теорема). Критерій Коші.
Невласні інтеграли 1 роду, залежні від параметра |
|
|||
Нехай I1 |
[a, |
) , I 2 |
(c, d ) , E I1 I 2 , f : E |
R . Розглянемо інтеграл: |
F ( ) |
f (x, |
)dx , |
I 2 , |
(1) |
|
a |
|
|
|
який називається невласним інтегралом першого роду, залежним від параметра (НІЗП).
Інтеграл F ( ) називається збіжним на інтервалі I 2 (позначимо це таким чином F ( ) |
, або F |
), |
якщо він збігається I 2 , тобто
|
|
x |
|
I 2 |
lim |
f (t, )dt I ( ) R . |
(2) |
|
x |
a |
|
|
|
|
Якщо розписати означення границі за Коші, то одержимо:
|
|
x |
|
I 2 I ( ) R |
0 A( , ) a : x A |
I ( ) f (t, )dt |
, |
|
|
a |
|
або еквівалентне наведеному:
I 2 |
0 A( , ) a : x A |
f (t, )dt |
. |
(3) |
|
|
x |
|
|
Збіжний на інтервалі I 2 |
інтеграл F ( ) називається рівномірно збіжним на I 2 (позначимо це таким |
|||||||||||||||
чином F ( ) |
, або F |
), якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
A( ) |
a : |
x |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sup |
|
|
f (t, )dt |
|
, |
|
|
(4) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
I2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
або аналогічно можна записати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
A( ) |
a : |
x |
A |
A |
|
|
f (t, |
)dt |
|
, |
(5) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. |
(Критерій Коші) |
|
|
|
|
Інтеграл F ( ) збігається рівномірно на інтервалі I 2 |
тоді і тільки тоді, коли |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
A0 |
a : |
A1 |
A0 , A2 |
A0 |
sup |
|
f (t, |
)dt |
|
|
(6) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
A |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. Необхідність. Нехай F ( |
) рівномірно збігається, |
тобто для нього виконується умова (4), з неї |
|||||||||||||||||||||||||||
слідує, що |
0 |
A( |
) |
a : |
A1 |
A, A2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
f (t, |
)dt |
|
, |
|
sup |
|
f (t, |
)dt |
|
|
|
sup |
|
f (t, |
)dt |
|
sup |
|
f (t, )dt |
f (t, |
)dt |
|
||||||||
I 2 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
A |
|
|
|
|
|
|
I2 |
A |
|
|
|
|
|
I2 |
A |
|
A |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sup |
|
|
f (t, |
)dt |
|
sup |
|
|
f (t, |
)dt |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I2 |
|
A |
|
|
|
|
I2 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необхідність доведена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Достатність. |
Якщо |
виконується |
умова |
(6), |
з |
урахуванням |
збіжності |
F ( ) |
маємо: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x, |
)dx |
|
|
|
f (x, |
)dx |
|
|
|
I 2 . |
Тепер |
переходимо |
до супремуму по |
I 2 і |
маємо |
|||||||||||||||
A2 |
|
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
потрібне, враховуючи що A1 - довільне і A1 |
|
A sup |
|
f (t, |
)dt |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доведена.
6. Невласні інтеграли 2-го роду, залежні від параметра
Нехай I1 |
[a,b) , |
I 2 |
(c, d ) , E |
|
I1 |
I 2 , |
f : E |
R і |
I 2 |
збігається невласний |
інтеграл |
||||
другого роду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
F |
f |
x, |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то можна вважати визначеною функцію F |
, яку називатимемо невласним інтегралом другого роду, залежним |
||||||||||||||
від параметра . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Інтеграл F |
називається рівномірно |
збіжним |
на інтервалі I 2 , |
якщо |
він збігається на I 2 і |
0 |
|||||||||
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
|
I 2 |
|
f |
x, |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Невласний інтеграл другого роду (1) очевидною заміною t перетворюється в невласний інтеграл
b x
першого роду, тому всі попередні твердження легко переформулюються на випадок невласного інтеграла другого роду.
#25
Теорема 2. |
(Мажорантна ознака Вейєрштрасса) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Для |
того, щоб |
інтеграл F ( ) збігається рівномірно на |
інтервалі I 2 |
|||||||||||||
|
|
|
достатньо, щоб існувало таке число x0 |
a і така функція [x0 , |
) |
R , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
що |
I 2 , x |
x0 справджується нерівність |
f (x, ) |
|
(x) та інтеграл |
|||||||||||
|
|
|
(x)dx був збіжним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. За умовами теореми |
|
I 2 |
інтеграл F ( |
) збігається (за мажорантою |
||||||||||||||
ознакою |
при |
фіксованому |
I 2 ). |
Із |
збіжності інтегралу |
(x)dx |
|
|
0 |
A0 a : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
A |
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
внаслідок чого |
||||||
(x)dx |
|
I 2 |
|
f (t, |
)dt |
|
f (t, |
)dt |
|
(x)dx |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
F ( |
) збігається рівномірно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#26
Теорема 3. |
(Ознака Абеля) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Якщо інтеграл F ( ) |
збігається рівномірно на проміжку I 2 , |
а функція |
|
|||||||||||||
|
|
|
: E |
R - обмежена, |
та монотонна по |
змінній |
x , |
то інтеграл |
|
||||||||||
|
|
|
( |
) |
|
f (x, ) |
(x, |
)dx збігається рівномірно на I 2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. |
З рівномірної збіжності F ( ) можемо записати критерій Коші: |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 a : |
A1 |
A0 , A2 |
A0 |
|
f (t, |
)dt |
|
|
, позначимо M |
|
sup |
|
(x, |
) |
0 (при M |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
( x, ) E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема очевидна). З монотонності |
та інтегрованості f |
на проміжку [ A1 , A2 ] запишемо |
|||||||||||||||||
другу теорему про середнє: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A2 |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x, ) |
(x, |
)dx |
|
|
( A1 , ) |
f (x, |
)dx |
|
( A2 , ) f (x, )dx |
2M |
, а далі з критерію Коші |
|||||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
все й слідує.
#27
Теорема 4. |
(Ознака Діріхле) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Якщо функція |
: E |
|
R - монотонна по змінній x |
I 2 , а також |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 на проміжку I 2 , а функція x f (t, )dt - обмежена на E , |
то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
інтеграл ( ) |
f (x, |
) (x, |
)dx збігається рівномірно на I 2 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. З рівномірної збіжності |
0 можемо записати умову: |
0 |
A0 a : |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A1 |
A0 |
I 2 |
|
|
(A1, ) |
|
, |
позначимо M |
sup |
f (t, |
)dt |
|
0 (при M |
0 теорема |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x, ) E |
a |
|
|
|
|
|
|
очевидна). З монотонності |
та |
інтегрованості |
f на |
проміжку [ A1 , A2 ] запишемо другу |
|||||||||||||||||
теорему про середнє: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A2 |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x, |
) (x, |
)dx |
|
|
( A1 , ) |
f (x, |
)dx |
|
|
( A2 , ) |
f (x, |
)dx |
|
2M |
, а далі з критерію Коші |
|||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
все й слідує.
#28
Теорема про неперервність інтеграла, залежного від параметра.
Теорема 2.
Якщо функція f x, yвизначена і неперервна як функція від двох змінних в прямокутнику
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y : a |
x |
b, c |
y |
d |
|
, то інтеграл I y |
f x, y dx є неперервною функцією від |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметра y |
c, d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
○ За теоремою Кантора функція f |
x, y , неперервна на компакті, є рівномірно |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
неперервною на цьому компакті, тобто для |
0 |
|
0 , що із нерівностей |
|
x |
x |
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
слідує нерівність |
|
f x , y |
f |
x , y |
|
. Покладемо x x |
x , y |
y, |
|
|
y |
y0 . Тоді |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
при |
|
y |
y0 |
|
для будь-якого x маємо |
|
f x, y |
f x, y0 |
|
, а це означає, що при y |
|
y0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f |
x, y |
f x, y0 |
(прямує) рівномірно відносно x . Відповідно за теоремою 1 отримуємо |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim f |
x, y dx |
f x, y0 |
dx , тобто lim I |
y |
|
I y0 |
, а це означає, що функція I y |
є неперервною |
||||||||||||||||||||
|
y |
y0 |
a |
|
|
a |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
на відрізку |
c, d |
, оскільки y0 – довільна точка цього проміжку. ● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Оскільки функція I y |
є неперервною на проміжку c, d , то ця функція є інтегрованою на |
||||||||||||||||||||||||||
|
c, d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Теорема 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Якщо функція f x, y |
є неперервною в прямокутнику |
x, y : a |
x |
b, c |
|
|
y |
d |
|
, то |
|||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
d |
b |
|
b |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I y dy |
|
dy f x, y dx |
|
dx f x, y dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
c |
a |
|
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
○ Кожен з повторних інтегралів у цій формулі дорівнює подвійному інтегралу від функції f x, yна прямокутнику П.●
#29
30