11. Гармонические колебания и их характеристики. Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении
Гармоническое
колебание — явление периодического
изменения какой-либо величины, при
котором зависимость от аргумента имеет
характер функции синуса или косинуса.
Например, гармонически колеблется
величина, изменяющаяся во времени
следующим образом:
,
х — значение изменяющейся величины, t
— время, А — амплитуда колебаний, ω —
циклическая частота колебаний,
– полная фаза колебаний,
Обобщенное
гармоническое колебание в дифференциальном
виде
.
Виды колебаний. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Исследование гармонических колебаний важно по двум причинам:
1) колебания, которые встречаются в природе и технике, часто имеют близкий к гармоническому характер;
2) различные периодические процессы (процессы, которые повторяются через равные промежутки времени) можно представить как суперпозицию (наложение) гармонических колебаний.
Гармонические колебания отличаются от всех остальных видов колебаний по следующим причинам:
Очень часто малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.
Широкий класс периодических функций может быть разложен на сумму тригонометрических компонент. Другими словами, любое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний.
Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является гармоническое колебание (свойство линейности), при этом связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. С учётом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение колебаний произвольной формы через системы.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Согласно
определению скорости, скорость – это
производная от координаты по времени
Т.
обр., мы видим, что скорость при
гармоническом колебательном движении
также изменяется по гармоническому
закону, но колебания скорости опережают
колебания смещения по фазе на p/2. Величина
– максимальная скорость колебательного
движения (амплитуда колебаний скорости).
Согласно
определению ускорения, ускорение – это
производная от скорости по времени:
Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на p/2 и колебания смещения на p (говорят, что колебания происходят в противофазе).
– максимальное
ускорение (амплитуда колебаний ускорения).
смещение
при гармонических колебаниях немного
отличается от ускорения.
12. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники
Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний. x
– координата грузика
по
2 закону Ньютона:
Применим
закон движения, т.е. учтем особенности
наших систем:
,
но
,
,
.
Используя другое обозначение производной,
получим после несложных преобразований:
Введем обозначения:
Пружинный
маятник – груз, подвешенный на упругой
пружине и совершающий гармонические
колебания под действием упругой силы.
Период колебаний такого маятника
.
Происходят эти колебания под действием
внутренней силы – силы упругости и
благодаря наличию инертности груза.
Математический
маятник – материальная точка массой
m,подвешенная в поле тяжести Земли на
невесомой и нерастяжимой нити длиной
l, совершающая колебания малой амплитуды
в вертикальной плоскости. Период
колебаний математического маятника
определяется по формуле
.
Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести.
,
где J – момент инерции тела относительно
оси качания, D – расстояние от точки
подвеса до центра тяжести.