§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Теорема.: Пусть функция x= φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале измененийx, то имеет место равенство:

∫ ƒ(x)dx=∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

Доказательство.

Определени1:Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл∫ ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называетсяинтегрируемой.

По определению1 неопределенного интеграла

∫ ƒ(x)dx=F(x) +C, причемF'(x) = ƒ(x)

Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции: ƒ(φ(t))·φ'(t).

Для этого найдем (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| =

= F'(φ(t))·φ'(t);

Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда

(F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)

∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt = F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx.

∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) · φ'(t) dt.

Пример:

= |e^x+1 =t² ;=t;e^x=t² – 1 ;x=ln(t²–1 ) ;dx=dt| =

= = 2 = 2∙ = +C.

Интегрирование по частям.

Пусть U(x) иV(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

Проинтегрируем это равенство:

∫d(UV) = ∫U∙dV+ ∫V∙dU;

UV= ∫U∙dV+ ∫V∙dU;

∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.

Пример: вычислить ∫ x·sin(x)dx

Iспособ.

∫ x · sin(x) dx = | U=x; dU = dx; dV = sin(x) dx; ∫dV = ∫ sin(x) dx; V = -cos(x) | =

= -x · cos(x) - ∫(- cos(x)) dx = - x · cos(x) + sin(x) + C;

IIспособ.

∫ x · sin(x) dx = | U = sin(x); dU=cos(x) dx; dV=x dx; V=∫ x dx =; | = · sin(x) –

∫ · cos(x) dx.

Замечание: классы функций интегрируем по частям.

Iкласс – это интегралы вида:

∫ Pn(x) ·e^axdx;

∫ Pn(x) · sin(a·x) dx;

∫ Pn(x) ·cos(a·x)dx, где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случаеU=Pn(x);

IIкласс – это интегралы вида:

1.∫ Pn(x) · ln(a·x) dx;

2.∫ Pn(x) · arcsin(x) dx;

3.∫ Pn(x) · arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);

Пример:

∫ x² · ln(1+x) dx ;

∫ x² · ln(1+x) dx = | U= ln(1+x); dU=; dV = x² dx; V=; | = ln(1+x) · –

·∫dx= | выделим целую часть:

x³|x+1

¯ x³+x² x²-x+1

- x²

¯- x²–x_

x

¯ x+1

-1

значит, _ x³_ =x²–x+1 + -1_ ; | =

x+1x+1

= ·ln(1+x) – dx = ·ln(1+x) –·+ – + ·=

= ·ln(1+x) –·+ – + ·ln(x+1) +C;

Пример2: интеграл вида:

∫ e^x · sin(x) dx = | U = e^x; dU= e^xdx; dV= sin(x) dx; V=∫sin(x) dx = –cos(x); | = –e^x · cos(x) + + e^x · sin(x) – ∫ e^x · sin(x) dx;

∫ e^x · sin(x) dx = –e^x · cos(x) + + e^x · sin(x) – ∫ e^x · sin(x) dx;

получили уравнение относительно интеграла, неизвестным является интеграл.

2 ∫ e^x · sin(x) dx = e^x · (sin(x) – cos(x) );

∫ e^x · sin(x) dx = · e^x · (sin(x) – cos(x) ) + C;

Интегрирование элементарных дробей.

Определение1:дроби вида:

I. A ; II. A ; III. Mx +N ; IV. Mx + N ,

ax+b (ax+b)ⁿ (ax² +bx + c) (ax² +bx + c)^m

где m,n- натуральные, причемm,n≥ 2, и квадратный трехчленax²+bx+cне имеют действительных корней, т.е.b²– 4ac< 0 (D<0) – называютсяэлементарными.

Разберем дроби.

I. ∫ A dx = A · ∫ a dx = | d(ax+b) = a dx; | = A · ∫ d(ax+b) = A · ln |ax+b| +C.

ax+b a(ax+b) a ax+b a

II. ∫ A dx = A · ∫ (ax+b)^-n d(ax+b) = A · (ax+b)^-n+1 = A + C;

(ax+b)ⁿ a a (1-n ) a·(1-n) ·(ax+b)^n-1

III. ∫ Mx + N dx;

ax²+bx+c

Рассмотрим сначала Y== ==

= = │т.к.b²– 4ac<0 (по условию), то 4ac–b²>0, тогда

>0; обозначим=k²;│==

=│ Пусть =t,dx=dt; │ ==arctg() =·arctg+C;

Y =

Рассмотрим искомый интеграл:

dx = dx = +

+ = ∫ (ax² +bx + c)^–m d(ax² +bx + c) + (N – ) ·Y =

Y

= ·ln|ax² +bx + c| + (N – ) arctg+ C.

Пример:

∫ 7x – 2 dx= ∫ (6x-5)·7/6 – 2 + 35/6dx= 7/6·∫ (6x – 5) dx + ∫35/6 – 2 dx =

3x^{2 –} 5x+4 3x^{2 –} 5x+4 3x^{2 –} 5x+4 3x^{2 –} 5x+4

= 7/6 · ∫ d(3x² –5x+4) + 23/18· ∫ dx = 7/6ln|3x² –5x+4| +23/18· ∫ d (x – 5/6) =

3x^{2 –} 5x+4x²–5/3·x+4/3 (x–5/6)²+23/36

= 7/6 ln|3x² – 5x+4| + 23/18· 1/(/ 6)· arctg(x – 5/6) +C= 7/6ln|3x^{2 –} 5x+4| +/3·

/6

· arctg (6x – 5) + C.

IV. dx = = +

+= ∫ (ax² +bx + c)^–m d(ax² +bx + c) + (N – ) ·

·=+ (N–)) = |см. пример 3|

Ym

= + (N – ) Ym .

Отдельно вычислим Ym.

Ym = ∫ dt = 1 · ∫ (t²+k² ) – t²dt= 1 · ∫ dt – 1 · ∫ t² dt= 1 · Ym-1 –

(t²+k²)^m k² (t²+k²)^m k² (t²+k²)^m-1 k² (t²+k²)^m k²

Ym-1

– 1 · ∫ t² dt = | U=t, dU = dt; dV = t dt ; V =1/2 · ∫ (t²+k²)^–m d(t²+k²) =

k² (t²+k²)^m (t²+k²)^m

= 1 · (t²+k²)^–m+1 ; | ;

2 – m+1

Ym = 1 · Ym-1 – 1 · ( t – ∫ dt ) = 1 · Ym-1 –

k² k² 2(1-m)(t²+k²)^m-1 2(1-m)(t²+k²)^m-1 k²

– t + 1 ;

2k²(1-m)(t²+k²)^m-1 2k²(1-m)(t²+k²)^m-1

Ym-1

Ym = t + 1 · Ym-1 · (1 + 1 ) = t + 1 Ym-1 ·

2k²(m –1)(t²+k²)^m-1 k² 2(1-m) 2k²(m –1)(t²+k²)^m-1 k²

· 3 – 2m ;

2(1 – m)

Получили: Ym = t + 1 · 3 – 2m · Ym-1.

2k²(m –1)(t²+k²)^m-1 k² 2(1 – m)

Пример:

∫ 2x – 4 dx= ∫(2x+2) – 6 dx= ∫ (x² + 2x+5)^–2·(2x+2)dx– 6· ∫ dx =

(x² + 2x+5)²(x² + 2x+5)²((x+1)²+4)²

= | x+1=t; | = ∫ (x² + 2x +5)^–2 d(x² + 2x +5) – 6 · ∫ dt = (x² + 2x +5)^–1 – 6 · ∫ (4+t²) – t² dt =

(t² + 4)² -1 4 (t²+4)²

= – 1 – 3 ∫ dt + 3 ∫ t² dt = | U = t; dU=dt; dV= t dt ;

x² + 2x +5 4 t² + 4 2 (t² + 4)² (t² + 4)²

V =1/2 · ∫ (t² + 4)^–2 d(t² + 4) = –1/2 (t² + 4)^–1 = –1/2 – 1 ; | = – 1 – 3 · Y1 +

t² + 4 x² + 2x +5 2

+ 3 · ( t – ∫– dt ) = – 1 – 3 · Y1 – 3t + 3 ·Y1 = – 1 -

2 –2(t² + 4) 2(t² + 4) x² + 2x +5 2 4(t² + 4) 4 x² + 2x +5

– 3t + 3 Y1 = – 1 – 3(x+1) + 3 · 1 · arctg ( x+1 ) + C.

4(t² + 4) x² + 2x +5 4(x² + 2x +5) 4 2 2

Комплексные числа.

Определение1: числа видаz=x+iy, гдеx,y– действительные числа,i=, называютсякомплексными. Очевидно, чтоi²= -1;

Пример: z1 = 2 + 3i ; z2 = - + 2i ;

Утверждение:

1. Комплексное число z= 0, еслиx= 0,y= 0.

2. Два комплексных числа z1 = x1+iy1 , z2 = x2+iy2 , считаются равными, т.е.z1 = z2 , еслиx1= x2 и y1= y2.

x– действительная часть комплексного числа;

iy– мнимая часть комплексного числа;

i=- мнимая единица.

Рассмотрим плоскость XOY:

Y

z=x+iy

y– – – – ●

|

|

x X

Итак, каждой точке плоскости соответствует комплексное число и каждому комплексному числу соответствует некоторая точка плоскости, т.е. между множеством комплексных чисел и точек плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Y

y – – – – – – z

ρ

φ

xX

ρ– модуль комплексного числаz.

ρ = |z|

φ– аргумент комплексного числа и обозначаетсяφ=argz; 0≤φ≤ 2π.

Arg z = arg z + 2πk, k c Z;

Из треугольника, найдем:

ρ= ;

x=ρ·cos(φ);y=ρ·sin(φ);tg(φ) =, тогда

комплексное число z=x+iyзапишется в виде:

z = ρ·cos(φ) + i·ρ·sin(φ);

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа.

Пример: записать комплексное число z= 2 + 2·iв тригонометрической форме

x= 2; __ __________ _____

y= 2√3 , найдемρ=√2²+ (2√3)²= √4+12 = 4.

tg(φ) == 2=; значит

tg(φ) =;

z = 4·(cos + i·sin);

Действия над комплексными числами.

1. Сложение.

Дано:

z1 = x1 + iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1+ x2) + i·( y1+ y2);

Пример: z1 = 3 – 2i

z2 = -4 + 5i ;

z1 + z2 = -1 + 3i ; z1 – z2 = 7 + i (-7) = 7 – 7i;

2.1.Умножение.

Дано:

z1 = x1 + iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) = x1· x2 + iy1·x2 + iy2·x1 + i² y1·y2 = (x1· x2 – y1·y2) +

= -1

+ i·( x1·y2 + x2·y1).

Пример:

(3+i)(-4 – 3i) = -12 – 4i – 9i – 3 i² = -9 –13i;

2.2. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:

z1 = ρ1·(cos(φ1) + i·sin(φ1));

z2 = ρ2·(cos(φ2) + i·sin(φ2)); тогда

z1·z2 = ρ1·ρ2 · (cos(φ1) + i·sin(φ1)) · (cos(φ2) + i·sin(φ2)) = ρ1·ρ2 · [(cosφ1·cosφ2 –

– sinφ1 · sinφ2 ) + i· (cosφ1·sinφ2 + sinφ1·cosφ2)] = ρ1·ρ2 · (cos(φ1+φ2) + i· sin(φ1+φ2))

Вывод:при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются (пример см.выше).

3.Деление.

Дано:

z1=x1+iy1 ;

z2 = x2 + iy2 ;

z1 = x1 + iy1 = (x1 + iy1)(x2 – iy2) = (x1· x2 + y1·y2) + i·( x2·y1– x1·y2) = x1·x2 +y1·y2 +

z2 x2 + iy2 x2² – iy2² x2² + y2² x2² + y2²

+ i·( x2·y1– x1·y2) ;

x2² + y2²

Пример: z1 = (1–i )(4 – 2i) = (4-2) + i(-4-2) = 2 – 6i = 1 – 3 i .

z2 (4+2i)(4– 2i) 16 – 4i² 20 10 10

3.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

z1 = ρ1·(cos(φ1) + i·sin(φ1)) = ρ1 · (cos(φ1) + i·sin(φ1)) ·(cos(φ2) – i·sin(φ2)) =

z2 ρ2·(cos(φ2) + i·sin(φ2)) ρ2 cos²(φ2) + sin²(φ2)

= ρ1 · [cos(φ2) ·cos(φ1) + sin(φ2) ·sin(φ1)) + i·( sin(φ1) ·cos(φ2) – cos(φ1) ·sin(φ2)] =

ρ2

= ρ1 · (cos(φ1–φ2) + i· sin(φ1–φ2)).

ρ2

вывод: при делении комплексного числа модули делятся, а аргументы вычитаются.

Пример: z1= 2(cos + i·sin)

z1= 3(cos + i·sin)

z1 · z2 = 2 · 3 (cos(+) + i·sin(+) = 6 (cos + i·sin) = 0+6i = 6i;

= · (cos(–) + i·sin(–) = ·(cos + i·sin) = ;

4. Возведение в степень комплексного числа.

zⁿ = z · z · z ·… · z ;

nраз

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)), на основании умножения комплексных чисел в тригонометрической форме имеем:

zⁿ = ρ· ρ· ρ… ρ · (cos(φ + φ + φ …+ φ) + i·sin(φ + φ + φ …+ φ))

nраз nразnраз

zⁿ = ρⁿ·(cos(φ) + i·sin(φ)).

Пример: z = 1+·i ; z⁵ - ?

x =1;

x = ;

ρ = 2; tg(φ)= ; φ = ;

z = ρ·(cos + i·sin)

z⁵ = 2⁵·(cos + i·sin) = 32 ·(cos – i·sin).

5. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ω, если выполняется соотношениеzⁿ= ω и обозначаетсяz=;

Пусть данное ω = r·(cosθ +i·sinθ) , искомоеkчисло

z=ρ·(cos(φ) +i·sin(φ)) , тогда соотношениеzⁿ= ω перепишется в виде:

ρⁿ·(cos(φ) + i·sin(φ)) = r·(cosθ + i · sinθ);

ρⁿ = r ;

ρ = ; nφ = θ + 2πk;

φ= ;

z= =· (cos() +i·sin() );

Пример: Найти z == ;

1 + 0·i = 1 (cos0 + i·sin0 ), тогда

z = (cos () + i·sin()) = (cos + i·sin);

давая значения k= 0,1,2…,n-1 получаемnкорней;

в данном случае k= 0,1,2,3,4 .

k = 0, z =1;

k = 1, z =1(cos + i·sin);

k = 2, z =1(cos + i·sin);

k = 3, z =1(cos + i·sin);

k = 4, z =1(cos + i·sin).

Функция от комплексной переменной.

Определение:комплексная переменная ω называется функцией от комплексной переменнойzиз комплексной области, если каждому значениюzпо некоторому правилу и закону ставится в соответствии комплексная переменная ω и обозначается ω = ƒ(z).

Рассмотрим одну функцию – показательную

ω = e^z = e^x+iy ;

значение этой функции вычисляется следующим образом:

e^x+iy = e^x ·(cos(y) + i·sin(y));

Пример:

e^2-π/4·i = e² (cos(-π/4) + i· sin(-π/4)) = e² (√2/2 + √2/2·i);

пусть x=0, получим

e^iy = e⁰ (cos(y) + i· sin(y)) ;

e^iy = cos(y) + i· sin(y) - формула Эйлера.

Заменим в этой функции yна (-y)

e^iy = cos(y) + i· sin(y) (1)

e^-iy = cos(-y) + i· sin(-y) (2)

вычислим из 1-2

e^iy - e^-iy = 2 i · sin(y)

sin(y) = e^iy - e^-iy ;

2i

теперь сложим, получим

cos(y) = e^iy + e^-iy ;

2

Показательная форма комплексного числа.

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ));

cos(φ) + i·sin(φ) = | по формуле Эйлера| = eⁱ·^φ, то

z = ρ· eⁱ·^φ;

Пример:

1) z = -i; {y = –1; x=0; т.е. z=0 –i ;}

tg(φ) = = -∞; ;

S = =1; –i = 1·;

2) z = -2; {z = -2 + 0·i};

x= –2; y=0;

p = =2;

tg(φ) = 0; φ=π;

-2=2·;