Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

947.59 Кб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков

Числовые и функциональные ряды

Учебно-методическое пособие

Москва 2021

УДК 517.521(075.8) ББК 22.161.6я7 С89

Сумин Е.В., Шерстюков В.Б. Чнсловые и функциональные ряды: Учебно-

методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2021. – 148 с.

Предлагаемое учебно-методическое пособие посвящено числовым и функциональным рядам. Рассмотрены числовые ряды с неотрицательными членами и знакопеременные числовые ряды, функциональные последовательности и функциональные (в частности, степенные) ряды. На примерах проиллюстрированы различные методы нахождения сумм числовых и функциональных рядов. Приведены подробные решения большого числа как стандартных упражнений, так и задач повышенной сложности. Пособие дополнено прил. 1–3, содержащими вывод востребованных на практике формул для конечных тригонометрических сумм, а также формул Валлиса и Стирлинга.

Издание предназначено для студентов 2-го курса НИЯУ МИФИ в качестве учебно-методического пособия при изучении в курсе математического анализа темы «Числовые и функциональные ряды». Указанное пособие будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия по этой теме.

Рецензент канд физ.-мат. наук, доц. А.В. Баскаков

ISBN 978-5-7262-2825-9	Национальный исследовательский
	ядерный университет «МИФИ», 2021

1. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Сходимость числовых рядов

Определение 1.1. Пусть задана числовая последовательность

a1, a2 , …, an ,	…, элементы которой являются действительными
(или комплексными) числами. Формальное выражение

	a1 a2 ... an ... an	(1.1)
	n 1
называется числовым рядом. Числа a1, a2 , …,		an , … называются
членами ряда,	an – общим членом ряда, сумма первых n членов

Sn a1 a2 ... an – n-й частичной суммой. Ряд


an 1 an 2 an 3 ...	ak
	k n 1

называется n-м остатком исходного числового ряда (1.1).

Определение 1.2. Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность {Sn } его частичных сумм. При

этом конечный предел S lim Sn называется суммой ряда. Ряд

называется расходящимся, если последовательность {Sn } его ча-

стичных сумм расходится (т.е. lim Sn или не существует).

Теорема 1.1. Если в ряде (1.1) изменить конечное число членов, то получившийся ряд будет сходиться, если сходится исходный ряд, и расходиться, если расходится исходный ряд.

Теорема 1.2. Если в ряде (1.1) отбросить первые n членов, то получившийся ряд (n-й остаток исходного ряда) будет сходиться, если сходится исходный ряд, и расходиться, если расходится исходный ряд.

Теорема 1.3 (необходимое условие сходимости числового ря-

да). Если ряд (1.1) сходится, то lim an 0.

Следствие 1.1. Если lim an не существует или существует, но

не равен нулю, то ряд (1.1) расходится.

Теорема 1.4 (критерий Коши сходимости числового ряда).

Ряд (1.1) сходится тогда и только тогда, когда для него выполняется условие Коши:

0 N ( ) , такой что n N , p выполнено неравенство

			Sn p Sn	,		(1.2)
или в развернутом виде
0	N ( ) , такой что n N ,					p
выполнено неравенство		an 1 an 2		... an p	.
выполнено неравенство		an 1 an 2		... an p	.

Замечание 1.1. Если условие Коши (1.2) не выполнено, т.е.


0 0,	такое, что N		n N, p N,		такие, что выполнено
неравенство
		Sn p Sn		0 ,	(1.3)
		Sn p Sn		0 ,	(1.3)

то ряд (1.1) расходится.

Теорема 1.5. Пусть члены ряда (1.1) представлены в виде суммы фиксированного числа слагаемых, т.е.

an cn(1) cn(2) ... cn( k) .

Тогда:

1) если все ряды сn(i) ,

n 1

ся, причем


1 i k,	сходятся, то ряд an сходит-
	n 1

	k
an cn(i)
n 1	i 1 n 1


cn(1)	cn(2)	... cn(k ) ;
n 1	n 1	n 1


2) если среди рядов сn(i) ,				1 i k, только один ряд расходит-
		n 1

ся, а все остальные сходятся, то ряд an расходится;
					n 1

3) если среди рядов сn(i) ,				1 i k,		расходится более, чем один
		n 1

ряд, то ряд an может как сходиться, так и расходиться.
n 1
Задача 1.1. Показать, что ряд
	1	1		1	...	1	...
		2 3	3		...	n(n 1)	...
1 2		2 3	3	4		n(n 1)

сходится, и найти его сумму.

Решение. Так как общий член ряда an n(n1 1) можно предста-

вить в виде

							1			1				1	,
					n(n 1)					n		n 1			,
					n(n 1)					n		n 1
то частичную сумму ряда Sn								можно записать следующим образом:
	1		1	1		1		1					1			1		1
Sn 1									...								1		,	n .
Sn 1			2			3			...								1	n 1	,	n .
	2		2	3		3		4			n				n 1			n 1
Поскольку
				lim Sn lim										1		1,
										1
										1		n 1
				n				n				n 1
то ряд сходится, и его сумма S 1.
Задача 1.2. Показать, что ряд
		1		1				1		...						1		...
	1 2		3	2 3 4			3	4 5		...				n(n 1)(n 2)				...
	1 2		3	2 3 4			3	4 5						n(n 1)(n 2)

сходится, и найти его сумму.

Решение. Представим общий член ряда

n(n

1)(n 2)

в виде суммы простейших дробей

n(n 1)(n

n 1

откуда

1 A(n 1)(n 2) Bn(n 2) Cn(n 1),

или

1 A(n2 3n 2) B(n2 2n) C(n2 n).

Используем метод неопределенных коэффициентов:

								n2 : 0 A B C;
								n1 :					0 3A 2B C;
т.е.								n0 :					1 2 A,
т.е.									A B C 0;
									A B C 0;

									3A 2B C 0;

									2A 1,
откуда A	1	,	B 1,			С					1		. Тогда
	2										2
a 1 1						1			1						1				1 1					2				1	.
a 1 1									1																				.
n		2		n n 1								2 n 2							2				n 1					n 2
		2		n n 1								2 n 2							2	n			n 1					n 2
Частичная сумма Sn запишется в виде
Sn		1			2			1					1			2			1		1					2	1
Sn		2	1		2			3						2		3			4			3				4		...
		2			2			3						2		3			4			3				4	5
				1		2						1					1			2						1

				1		n														n	1				n 2
		n		1		n				n 1							n			n	1				n 2
					1		1						1					1
																				,		n .
					2		2					n 1					n		2	,		n .
					2		2					n 1					n		2

Поскольку

		lim Sn						1						1							1						1						1
										lim																								,
										lim				2						n	1					n 2							4	,
	n							2 n						2						n	1					n 2							4
то ряд сходится, и его сумма													S			1 .
Задача 1.3. Показать, что ряд																4
Задача 1.3. Показать, что ряд
				1			3				5				7				...					2n 1					...
				2							23			24					...							2n			...
				2		22					23			24												2n
сходится, и найти его сумму.																											1 Sn :
Решение. Запишем выражения для																						Sn			и		1 Sn :
																											2
				Sn 1							3 5								7		...						2n 1					,
				Sn 1							3 5							16			...							2n				,
							2				4		8					16										2n
1					1 3						5				7									2n 3								2n 1
2 Sn					4 8														...																.
2 Sn					4 8						16			32					...							2n						2n 1			.
Тогда, вычитая из верхнего выражения нижнее, получим
Sn				1	Sn				1		Sn			1					3					1					5				3
Sn				2	Sn				2		Sn			2															8
				2					2					2					4					4					8				8
	7					5		...					2n 1										2n 3								2n 1

					16										2n									2n								2n 1
	16				16										2n									2n								2n 1
	1		1				1				1								1						2n 1
												...																		,			n 2.
	2						4				8	...					2n 1									2n 1				,			n 2.
	2		2				4				8						2n 1									2n 1
В круглых скобках имеем сумму Sn 1,																							образованную из n 1 члена
геометрической прогрессии (см. задачу 3.2) с b																																1 ,				q 1 , поэто-
																														1			2			2
му																																	2			2
му																								n 1
		Sn 1				b (1 qn 1 )															1			n 1						n 2.
		Sn 1					1	1 q										1							,					n 2.
								1 q													2

Получаем

1 n 1

2n 1

т.е.

1 n 1

2n 1

3 2

n .

Поскольку

lim Sn lim

1 n 1

2n 1

3 2

то ряд сходится, и его сумма S 3.

Задача 1.4. Показать, что ряд

n 2

n! (n 1)! (n 2)!

n 1

сходится, и найти его сумму.

Решение. Преобразуем общий член ряда

n 2

n! (n 1)!

(n 2)!

(n 1)!

1 (n

n 1

(n 2) (n 1)

n 1

(n 1)!(1 (n 1) (n 3))

(n 1)!(n 2)2

(n 1)!(n 2)

(n 2) 1

(n 1)!(n 2)

(n 1)!

2)!

Частичная сумма Sn

ряда запишется в виде

Sn ak

(k 1)!

2)!

k 1

...

1)!

(n 2)!

(n 1)!

n .

2)!

Поскольку

lim

Sn lim

2)!

то ряд сходится, и его сумма S		1 .
		2
Задача 1.5. Доказать, что гармонический ряд
1 1	1 ...	1		1
1 1	1 ...	1	...	1	(1.4)
2	3	n	n 1	n

расходится.

Решение. При доказательстве будем использовать критерий Коши. Покажем, что для гармонического ряда (1.4) выполняется

условие (1.3). Положим			0 12			и для произвольного					N возь-
мем n N 1 N и p n. Тогда
	Sn p Sn			an 1 an 2			... a2n			1
										1
									n	1
									n	1
		1	...		1		1	n 1 0 ,
		n 2	...				2n	n 1 0 ,
		n 2			2n		2n	2

т.е. выполняется условие (1.3). Следовательно, рассматриваемый гармонический ряд (1.4) расходится.

Задача 1.6. Используя критерий Коши, доказать, что ряд

с	с	с		c		c
1	22	33	...	nn	...	n	(0 cn M ,	n )
1	22	33	...	nn	...	n	(0 cn M ,	n )
3	3	3		3	n 1	3

сходится.

Решение. Докажем, что для этого ряда выполняется условие Коши (1.2). Для любых n, p

n p

Sn p Sn

an 1 an 2 ... an p

k n 1

Запишем

1	1	...		1	1		1	...		1
						1					.
n 1	n 2		3	n p	n 1		3		3	p 1

3	3				3

В круглых скобках имеем сумму S p , образованную из p членов геометрической прогрессии (см. задачу 3.2) с b1 1, q 13 , поэтому

	b (1 q p )	3		1
S p	1	2	1		.

	1 q			3p

Получаем

				Sn p Sn	M	1	3					1			M		1
						1	3					1			M		1
									1										.
						n 1			1				p					n	.
						3	2					3			2		3
Фиксируем произвольное число							0.					Тогда				Sn p Sn				, если
M	1	,	или 3n M , или n log						3	M		. Положим
2	3n	,	или 3n M , или n log							2		. Положим
2	3n			2						2
				N ( ) max				M						.
				N ( ) max		log	3				1,1			.
								2

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть. Таким образом,

0	N N ( ) , такой, что		n N	и p выполнено
неравенство
		Sn p Sn	,

т.е. справедливо условие Коши (1.2). Следовательно, ряд сходится. Задача 1.7. Исследовать на сходимость ряд

1		1		1	...	1	...
11	12		13			n 10

Решение. Так как ряд получен из гармонического ряда (1.4) отбрасыванием первых десяти членов, то по теореме 1.2 данный ряд (остаток гармонического ряда) расходится.

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
17.05.20241.97 Mб0Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013.pdf
#
17.05.20241.47 Mб1Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013.pdf
#
17.05.202418.7 Mб0PrilepkoAI_Tenzornaya_algebra_i_samosopryazhennye_operatory.pdf
#
17.05.20241.91 Mб0Sandakov_Nachala_tenzornogo_ischisleniya_Metodicheskie_rekomendacii_2009.pdf
#
17.05.2024947.59 Кб0Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021.pdf
#
17.05.2024951.32 Кб0Zadania_na_ekvivalentnost_Ryady.pdf
#
17.05.20244.66 Mб0АнтиДем3сем.pdf
#
29.01.202460.8 Mб0Билеты ВТА.pdf
#
17.05.2024132.89 Кб0Ряды.pdf