8.Нормальный случайный процесс. Многомерная плотность распределения в общем виде. Матрица ковариации. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Одномерный случай.

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

График нормальной ФПВ

Мат ожидание определяет сдвиг (начальную точку) графика

Если менять сигму (первый центральный момент, дисперсию), то график будет либо становиться шире, но ниже; либо становиться тоньше, но выше

Площадь под кривой W(x) равна 1.

Нормальная ФПВ максимальна при x = m1

ФРВ равен интегралу ФПВ, а так же ФРВ для нормального случайного процесса равен

- табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)

ФРВ для нормального процесса имеет вид

Многомерная плотность распределения в общем виде. Формула

Это формула записана при условии что x1…xn - независимые случайные величины(только эту формулу показала Саттарова когда её спросили как записать).

Дополнение: Запись для зависимых случайных величин будет следующая

Матрица ковариации

В матрице ковариации находятся ковариации с заданными сечениями времени.

По таблице ковариации можно понять стационарный процесс или нет.

Случай некоррелированных сечений

Случайные величины X и Y, для которых корреляционный момент   , называются некоррелированными.

При , получаем

Из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное не всегда справедливо. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что    , то они являются зависимыми. Обоюдная справедливость всегда соблюдается только для гауссовских процессов.

9. Двумерная плотность вероятности нормального случайного процесса, подробный вывод. Коэффициент корреляции, физический смысл. Случай некоррелированных сечений.

Двумерная плотность вероятности:

Коэффициент корреляции: Физический смысл:

Иными словами: с его помощью оценивают тесноту связи между случайными величинами

Для случая некоррелированных сечений 1) для двумерной плотности вероятности: 

2) для коэффициента корреляции:

Значение коэффициента корреляции близко к 0

10.Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия. Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.

1) Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия.

Кси в данном примере – это условное математическое ожидание. R – это корреляционная функция.

Более наглядно показано на рисунке ниже

2) Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.

На рисунке видно, что хотя пространство состояний обоих процессов практически одно и то же, динамика развития процессов в реализациях существенно различается. Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин. Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса Х(t) в произвольные моменты времени t₁ и t₂ и производится функцией корреляции. По всему пространству значений случайного процесса X(t) корреляционная функция определяется выражением:

Примечание. Случай абсолютной корреляции - это когда один процесс полностью накладывается на другой.

Некоррелированный случай для нормального процесса подразумевает независимость.

11) Линейные преобразования случайных процессов. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса на выходе линейной системы. Стационарность случайного процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами.