1. Понятие случайного процесса. Ансамбль реализаций. Понятие сечения случайного процесса. Функция распределения и плотность вероятности в заданном сечении случайного процесса, их свойства.

Случайный процесс – это функция, которая в любой момент времени t принимает значения, являющиеся случайной величиной. Пример – тепловой шум, процесс случайный, т.к. его параметры неизвестны. СП описывается своими реализациями, или выборками. Совокупность реализаций образует ансамбль

2. Одномерные и многомерные функция и плотность распределения. Свойства. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.

1) Одномерная ФПВ

ФПВ(функция плотности вероятности) – предел отношения вероятности того что случайная величина примет значение в интервале к величине этого интервала, при -> 0

График ФПВ

x1, измеряются в вольтах , тогда как ФПВ измеряется в

Условие нормировки ФПВ

Площадь под каждой ФПВ равна единице

Вероятность того, что значение случайного процесса попадёт в интервале от до

2) Одномерная ФРВ

ФРВ(функция распределения вероятности) – это вероятность того, что случайная величина не превзойдет некоторых значений x.

ФПВ – это производная ФРВ по x.

Свойства:

ФРВ не бывает отрицательным. ФРВ безмерная величина.

Если x2 x1, то F(x2) F(x1)

График ФРВ

3) Многомерные распределения

4. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.

3) Условная плотность распределения. Факторизация многомерной функции распределения через

условные плотности распределения. Условие независимости. Марковские случайные процессы.

Условная плотность распределения:

Условной плотностью распределения называется закон распределения одной величины при условии принятия второй величиной каких-либо значений. Например, имеем 2 величины X и Y. Найти необходимые функции возможно через их совместную ФПВ. Найдём ФПВ и ФРВ для величины X, при условии принятия величиной Y определённых значений:

Для нахождения условного ФРВ нужно использовать ту же формулу, только для совместной ФПВ и ФПВ той величины, условие которой будет учитываться нужно взять интеграл:

Также, исходя из формул, представленных выше, можно сделать вывод, что зная условные ФПВ и ФРВ величин X и Y и те же функции для величин, которые принимаются за условия, можно восстановить совместную плотность распределения:

Факторизация многомерных функций через условные распределения:

Вернёмся к предыдущему пункту и рассмотрим формулы (3) и (4). Из них можно вывести формулы для факторизации совместных ФПВ и ФРВ. Итак, имеем для ФПВ:

Далее, получив ФПВ, можем проинтегрировать полученную функцию и из неё получить факторизованную ФРВ:

Условие независимости:

Условие независимости СП характеризуется тем, что между сечениями этих процессов отсутствует корреляция. Для стационарных процессов, это условие может быть сформулировано как:

Стационарный процесс можно считать независимым, если между любыми двумя его сечениями нет корреляции, то есть, она равна 0.

Для нестационарных процессов ситуация сложнее:

Нестационарный процесс считается независимым, если корреляция между всеми его сечениями равна 0.

Также, чтобы 2 процесса (или величины) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы их совместная функция распределения вероятностей представляла собой произведение оных для каждой их этих величин. То есть:

Для ФПВ всё аналогично.

Марковские процессы.

Марковские процессы – процессы, определяющие одномерной плотностью распределения и двумерной условной плотностью распределения (плотностью перехода). Для лучшего понимания:

Имеем несколько сечений случайного процесса:

Согласно правилу умножения вероятностей, можно записать:

Для СП, предыдущее значение которого слабо связано с предыдущим имеем:

Случайные процессы, для которых равенство верно для любых значений n называются марковскими. В соответствии с определением, многократно подставляя результат в основную формулу, имеем:

4. Статистическое усреднение и моментные функции случайного процесса. Начальные и центральные моментные функции. Многомерные моментные функции.

количество.

Статистическое усреднение, другими словами, среднее арифметическое – это число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их

4. Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.

Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.

Среди множества функций, описывающих изменение СП во времени, особого внимания заслуживает корреляционная функция (КФ), являющаяся вторым смешанным центральным моментом:

Коэф корреляции - степень линейной зависимости 2-х величин. Он равен нулю при отсутствии зависимости.

Физический смысл и диаграмма рассеяния:

Свойства:

1. Равенство нулю для статистически независимых значений СП. Это следует из

2. Симметричность КФ.

3. Ограниченность КФ.

4. Положительная определенность. Для КФ она заключается в том, что для любой детерминированной вещественной функции g(t) имеет место неравенство

Понятие стационарности СП - означает независимость характеристик СП от выбора начала отсчетов времени.

2 СП называются некоррелированными, если КФ=0. Из независимости следует некоррелированность, но обратное не всегда.

Функция ковариации

свойства ( эти взяты из оти, а так свойства такие же, как и у корреляции)

4. Классификация случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина для непрерывных случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Физический смысл.

По лекции Лобыча классификация СП такая:

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные, в свою очередь стационарные сп делятся на стационарные в узком смысле и на стационарные в широком смысле. Также существуют Эргодические случайные процессы.

Для стационарного процесса плотность вероятности не изменяется при изменение начала отсчёта времени.

Все одномерные нач и центр моменты любого порядка в стац процессе являются константами.

Все двумерные нач и центр моменты стац процесса зависят только от расстояний между выбранными сечениями.

К не стационарным процессам относятся все процессы, которые не удовлетворяют условиям стационарности.

Эргодические – процессы, для которых по одной лишь реализации можно судить о всех свойства процесса.

4. Белый и квазибелый шум. Ковариационная функция белого шума. Тепловой шум. Ковариационная функция случайного процесса с постоянной в ограниченной полосе спектральной плотностью мощности.

Если спектральная плотность мощности постоянна во всей области частот, то такой сигнал называют белым шумом.

Белый шум одна из идеализированных моделей случайного сигнала с большой энергетической полосой, занимаемой спектральной плотностью мощности такого шума.

Квазибелый шум – это шум с равномерным не зависящим от частоты распределением спектральной мощности в определённом диапазоне пространственных частот.

Слева спектральная плотность, справа корреляционная функция

Тепловой шум возникает в результате хаотического теплового движения электронов в проводнике. Каждый электрон, двигаясь по своей траектории, создает на концах проводника некоторое очень маленькое напряжение. Поскольку в любом проводнике число электронов чрезвычайно велико, все они вместе создают шумовое напряжение с нормальным законом распределения, энергетический спектр которого может быть вычислен по формуле Найквиста'.

к = 1,38 • 10 Дж/К — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура, К; R — сопротивление проводника. Ом.

Формула справедлива во всем диапазоне радиочастот вплоть до частоты 10 Гц, т.е. во всем диапазоне используемых в радиотехнике частот, кроме оптического диапазона, тепловой шум можно считать белым.

Дисперсию теплового шума можно найти, умножив энергетический спектр на полосу частот, в которой действует шум: