1.5. Эллипсоид напряжений
Напряженное состояние в любой точке можно описать с помощью шести независи мых компонент тензора. Геометрическое представление о напряженном состоянии дает эллипсоид напряжений (рис. 1.14), три полуоси которого ориентированы вдоль глав ных напряжений (ау9а2 и а3) и равны им. Представление о главных осях напряжений лежит в основе понимания того, что какой бы сложной системой сил не вызывалось это напряженное состояние, оно всегда может быть сведено к нормальным напряжениям сжатия и растяжения, действующим по взаимно перпендикулярным осям. Это чрезвы чайно облегчает рассмотрение различных напряженных состояний. Три взаимно пер пендикулярные плоскости, каждая из которых проходит через два главных напряжения и перпендикулярна третьему, называются
главными плоскостями напряжений.
Напряженное состояние, когда главные оси напряжений рав |
|
|
ны (а] = а2= <73), а касательные напряжения отсутствуют, опреде |
|
|
ляется сферой; напряжение в любом направлении будет главным. |
|
|
Это случай равномерного всестороннего сжатия или растяже |
|
|
ния. Равномерное всестороннее сжатие создается, например, при |
|
|
погружении тела в жидкость, поэтому равномерное трехосное |
|
|
сжатие называется также гидростатическим давлением. Вместо |
|
|
термина «гидростатическое давление» иногда применяют терми |
|
|
ны «литостатическое» или «геостатическое давление», если |
|
|
речь идет о нагрузке, обусловленной массой вышележащих пород, |
Рис. 1.14. Эллипсоид на- |
|
ч |
« |
|
или «всестороннее давление» - для условии эксперимента. |
пряжений, а > а >а |
|
Одноосное напряженное состояние возникает в том случае, если две полуоси эллипсоида напряжений равны между собой (или близки нулю) и не
равны третьей полуоси (см. рис. 1.8, 1.9). Двуосное, или плоское напряженное состо яние возникает, когда одно из главных напряжений равно или близко нулю (см. рис. 1.10, 1.11, 1.13). Если все три полуоси эллипсоида напряжений принимают разные значения, то напряженное состояние называется трехосным (см. рис. 1.12, 1.14).
Разность нормальных напряжений выражается либо различной их величиной, либо разным их знаком. Только при наличии нормальных напряжений возникают касательные напряжения. Отклонения нормальных напряжений от средней величины нормальных напряжений асрназываются девиаторнымщ или дифференциальными напряжениями:
СТср= 1/3(<Г, |
+ О г + <73), |
о...ldifс —о 1—оср’, |
|
2dif |
2 ср’ |
3dif = О.3—Оср .
Отсюда следует, что величина касательных и дифференциальных напряжений опре деляется не абсолютным значением напряжений, а разностью максимального и мини мального напряжений {ах- <т3): чем больше эта разница, тем выше дифференциаль ные напряжения <7ldif и <x3dif и касательные напряжения г13 в плоскости а1У Типичные значения дифференциальных напряжений, действующих в земной коре, оцениваются значениями 10-100 МПа (100-1000 бар) [Теркот, Шуберт, 1985].
24 |
Глава 1 |
При однородной деформации удлинения-укорочения главные оси напряжений совпадают с главными осями деформации. При простом сдвиге и неоднородных де формациях оси эллипсоидов деформаций напряжений не совпадают (рис. 1.15). Ко нечная деформация накапливается в результате последовательных малых прираще ний при прогрессивной деформации. Если в процессе прогрессивной деформации оси эллипсоидов малых приращений сохраняют свои направления, то такая дефор мация называется соосной, или коаксиальной. Так, деформация чистого сдвига (удли нения-укорочения) является коаксиальной (см. рис. 1.15, а). При плоской сдвиговой деформации (деформации вдоль оси Y отсутствуют) оси X и Z эллипсоидов малых приращений всегда будут ориентированы под углом 45° к плоскости сдвига, но оси эллипсоида прогрессивной деформации будут последовательно поворачиваться (см. рис. 1.15, б). Такая деформация является несоосной (некоаксиальной).
Геометрически подобные эллипсоиды и эллипсы деформации можно получить де формацией чистого, или простого сдвига: реконструировать тип деформации можно в случае, если известен путь перемещения материальных точек или такой путь можно восстановить (предположить).
Рис. 1.15. Соотношения осей эллипсов напряжений и деформаций в обстановке чистого (а) и простого (б) сдвига в случае плоской деформации. При деформации чистого сдвига (удлинение-укорочение) оси X и Z эллипсои да деформации совпадают с главными осями напряжений <т3 и ау При деформации простого сдвига оси X и Z эллипсоида деформации поворачиваются относительно фиксированных осей ах и ау Максимальных значений касательные напряжения достигают на гранях куба, наклоненных под углом 45° к осям ахи оу
Напряжения и деформиции |
25 |
1.6. Соотношение напряжений и деформаций
Причиной деформации тел является действие на них сил - внешних и внутрен них. Внешние силы представляют собой меру механического взаимодействия данного тела с другими телами. Механическое воздействие одного тела на другое называется нагрузкой на это тело, или нагружением. Внешние силы могут быть поверхностными (например, действующие на рассматриваемый блок силы со стороны соседних блоков) и объемными, или массовыми (силы, действующие на каждую материальную частицу среды и распределенные по всему объему). Наиболее важным для геологической сре ды примером объемных сил является сила гравитации.
Для того чтобы тело испытывало деформацию, недостаточно, чтобы на него было оказано воздействие только с одной стороны - это воздействие должно быть уравновешено такой же по величине, но противоположно направленной нагрузкой, приложенной с другой стороны. Если действующие силы не уравновешены, дефор мацию вызывают только их уравновешенные составляющие, а неуравновешенные составляющие вызывают движение тела с ускорением. Учитывая «медлительность» большинства тектонических процессов, можно считать, что остаточные деформации в условиях земной коры, отраженные в изменении структуры, создаются только урав новешенными силами.
Тела могут деформироваться и без приложения внешних сил - например, при тем пературном расширении или при сжатии за счет высыхания. В то же время, приложе ние внешних сил к телам всегда вызывает в последних деформацию. Взаимоотношения между деформациями и напряжениями определяются механическими свойствами тела, которые могут меняться в зависимости от температуры, всестороннего давления и дав ления порового флюида, скорости деформирования. Итак, приложенные к телам напря жения должны вызывать деформации или - в определенных условиях - разрушение.
Основным источником сведений о закономерностях деформации горных пород являются экспериментальные исследования. Эксперименты, проводимые в широком диапазоне условий, позволяют установить связь между напряжениями и деформаци ями (см. разд. 1.8, 2.3.4).
Наиболее общим свойством твердых тел является упругость: будучи деформиро ванным под нагрузкой, тело полностью восстанавливает свою исходную форму после снятия нагрузки (рис. 1.16). Процессы нагружения и разгрузки подчиняются одним и тем же законам, а зависимость между напряжениями иупругими деформациями обыч но линейная, т.е. величина упругой деформации пропорциональна напряжению. При одноосной продольной деформации
cr=Ye,,
где Y - модуль Юнга. Для горных пород упругие деформации всегда очень невелики и не превышают долей процента.
Начиная с некоторого напряжения, называемого пределом упругости или пропор циональности, зависимость между напряжением и деформацией перестает быть ли нейной. При дальнейшем нагружении достигается предел текучести материала, при котором материал переходит в пластическое состояние. Различие между пределами текучести и упругости мало. В области пластической деформации, которая распола-
26 |
Глава 1 |
Рис. 1.16. Соотношения напряжений а и деформаций е
при нагружении. До достижения предела упругости (про порциональности) оесоотношение между напряжениями
и деформациями линейное и подчиняется закону Гука (а = Ye). До достижения предела текучести af тело пол
ностью восстановит свою форму после снятия нагрузки. При нагружении выше предела текучести материал пере
ходит в пластическое состояние, и после снятия нагрузки исчезнет только упругая составляющая деформации ее, пластическая деформация е необратима.
гается за пределом упругости, при снятии нагрузки в теле исчезает только упругая часть деформации (см. рис. 1.16), плас тическая деформация является необрати мой.
Идеально пластическое тело после достижения предела текучести деформи руется без увеличения нагрузки, при неиз менном напряжении (а = const). Реальные тела могут испытыватьупрочнение, т.е. для увеличения пластической деформации не обходимо дальнейшее увеличение нагруз ки, и, соответственно, напряжений: тело начинает оказывать большее сопротивле ние деформации. Другие тела, наоборот, могут испытывать разупрочнение: тело испытывает нарастающую пластическую деформацию при снижении напряжений - в этом случае процесс деформации ста новится неустойчивым и обычно заканчи вается разрушением тела (рис. 1.17).
Ползучестью называется пластичес кая деформация тела при постоянном напряжении. Если скорость деформации также постоянна, то говорят о стационар ном течении (рис. 1.18). Деформация без увеличения нагрузки для идеально плас тического тела тоже является вариантом ползучести, но ползучесть может прояв ляться даже при напряжениях, меньших предела упругости, хотя такая деформа ция идет очень медленно. В случае пол зучести величина деформации зависит не
а
Рис. 1.17. Идеально пластическая деформация (а, а = const), осуществляющаяся при напряжениях,
равных пределу текучести, деформация с упрочне нием (б) и разупрочнением (в). Деформация с ра
зупрочнением обычно заканчивается разрушением. ае- предел упругости, af - предел текучести.
8
Рис. 1.18. Кривая ползучести на графике зависи мости деформации е от времени нагружения t. В
момент приложения нагрузки возникает мгновен ная упругая деформация ев, скорость деформации
ползучести сначала постепенно убывает (участок 7-2), после чего наступает стадия установившейся ползучести, когда скорость деформации постоянна (прямая 2-3). На последнем участке скорость пол
зучести возрастает, и наступает разрушение (учас ток 3-4).
Напряжения и деформиции |
27 |
только от величины напряжения, но и от времени, в течение которого осуществляется воздействие. Предполагается, что деформация ползучести может идти при сколь угод но малых напряжениях, но время, необходимое для получения заметного результата, может оказаться слишком большим.
Скорость деформации (е ’ = Ae/At) при ползучести возрастает с увеличением на пряжений и определяется соотношением:
о = г\г\
где rj - вязкость. Эта зависимость имеет такое же математическое выражение, как и зависимость от напряжения скорости течения вязких жидкостей. Поэтому примени тельно к твердым телам говорят об их эффективной вязкости: чем выше вязкость (rj = ale *), тем медленнее идет деформация, т.е. вязкость - это свойство материала оказывать сопротивление пластической деформации. Чтобы ускорить пластическую деформацию при постоянной вязкости, нужно повысить напряжения, и наоборот, если деформация ускоряется вследствие какого-либо внешнего воздействия на тело, то напряжения в последнем растут.
Существуют тела с низкими пределами упругости и текучести. Они начинают не обратимо деформироваться при очень малых напряжениях. Такие тела называются вязкими, а их деформацию называют вязким течением. Деформация жидкостей и не которых типов твердых тел носит характер вязкого течения, твердые пластичные тела имеют выраженный предел текучести.
Многие материалы проявляют свойства последействия и релаксации. Эффект пос ледействия состоит в том, что часть упругой деформации возникает в теле непосредс твенно после нагружения, практически мгновенно, а конечная величина упругой де формации достигается по прошествии некоторого времени. При снятии нагрузки часть деформации в таком теле исчезает сразу, а остальная часть - постепенно (рис. 1.19).
Предположим, что к телу приложены напряжения ниже предела упругости. Де формация носит упругий характер и достигла некоторой величины (рис. 1.20). Если мы оставим данное тело под нагрузкой, то деформация будет возрастать, как и пред полагается при ползучести. Если требуется поддерживать достигнутый размер дефор мации в течение долгого времени, то нужно будет снижать напряжения. Уменьшение напряжений, необходимых для поддержания одной и той же величины деформации, означает, что часть упругой (обратимой) деформации переходит в пластическую, не
обратимую. Напряжения с течением времени «рас |
|
сасываются», «снимаются» за счет пластической |
s |
деформации. Это явление называется релаксаци |
|
ей, а скорость «снятия» упругих напряжений оп |
|
ределяется скоростью релаксации, различной для |
|
разных тел. |
|
Рис. 1.19. Упругая деформация с последействием. При нагру |
|
жении тела возникает мгновенная упругая деформация (е0). |
|
Конечная величина деформации достигается постепенно (учас |
|
ток 1-2 кривой). После снятия нагрузки (точка 2) часть упругой |
|
деформации (е0) исчезает сразу (участок кривой 2-3), остальная |
|
часть - постепенно (3^4). Стадия постепенного снятия упругих |
|
деформаций называется последействием. |
|
