Глашев Д.С. ГЭ17-02Б(V4.0)-1

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение

высшего образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Саяно-Шушенский филиал

кафедра Фундаментальной подготовки

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по теоретической механике

Динамика материальной точки

Преподаватель ___________ Н.Г. Полюшкин

подпись, дата

Студент __________ ________________ ___________ Д.С. Глашев

номер группы номер зачетной книжки подпись, дата

Саяногорск 2018

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 1). На гладком участке АВ трубы на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q и сила сопротивления среды R = −μV.

P

R

Рис. 1 Расчетная схема

В точке В груз, не изменяя численного значения своей скорости, переходит на участок ВС, где на него кроме силы тяжести действует сила трения (f − коэффициент трения) и переменная сила F = F(t) (Н).

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = х(t), где х = ВD (g = 10 м/с²).

Решить задачу при следующих данных:

m = 4 кг; V₀ = 12 м/с; Q = 12 H; R = 0,8V² H; f = 0,2; l = 2,5 м; F_X = -8cos(4t).

Решение.

Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Проведем координатную ось Аz в направлении движения груза и запишем начальные условия движения на этом участке:

Изобразим на рисунке 2 действующие на груз силы: силу тяжести P = mg , силу сопротивления R , направив её против скорости движения груза (против оси Az) и нормальную реакцию N₁ .

t = 0, z (0) = 0, V_Z (0) = V₀. (1)

F

Z

F_тр

R

P

P

N₂

N₁

Y

Рис. 2 Расчетная схема с действующими активными силами и реакциями связей

Составим дифференциальное уравнение движения груза D в проекции

на ось Az,

или

где Учитывая, что P = mg, а R = 0,8V_Z = 0,8V², получим

После подстановки численных данных примера и разделения переменных находим

Возьмем определенные интегралы от левой и правой частей равенства (2), в которых нижние пределы соответствуют начальным условиям задачи (1), а верхние пределы − значениям скорости и времени, когда груз окажется в точке В:

Отсюда находим

или, потенцируя это равенство, получим

и, подставив данные задачи, вычислим величину скорости в точке В:

2. Теперь рассмотрим движение груза D на участке ВС (рис. 2); най-

денная скорость V_B будет при движении на этом участке начальной скоростью: V₀ = V_B.

Введем в точке В декартовую систему координат Вху, проведя ось Вх по направлению движения груза, и запишем начальные условия:

t = 0, х (0) = 0, V_X (0) = V_B = 7,7 м/с. (3)

Изобразим на рисунке 2 силы, действующие на груз D: силу тяжести P , нормальную реакцию плоскости N₂ , силу трения F_тр и переменную силу F , являющуюся функцией времени.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

Так как V_X = V; F_тр = fN₂ и F_Х = -8cos(4t), это уравнение примет вид

Для определения N₂ составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ву:

Так как по оси В_Y груз не движется, то у=const и Vy =0. Тогда dV_Y/dt = 0, и из (5) получим 0 = N₂ − mgsin30, откуда находим N₂ = mgsin30. Следовательно, уравнение (4) примет вид

Разделим обе части равенства на m, вычислим значения:

и, подставив эти значения в (6), получим

Умножая обе части уравнения (3.9) на dt и интегрируя, найдем

Для определения постоянной интегрирования C1, подставим начальные условия (3) в (8), получим

отсюда находим

При найденном значении С₁ запишем уравнение (8)

Умножая здесь обе части (9) на dt и снова интегрируя, найдем

Подставляя в (10) начальные условия (3), получим С₂ = 0. Тогда искомый закон движения груза D вдоль оси Вх имеет вид

где х − в метрах, t − в секундах.

Ответ: − закон движения груза D вдоль оси Вх.