Глашев Д.С. ГЭ17-02Б(V4.0)
.docxФедеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Саяно-Шушенский филиал
кафедра Фундаментальной подготовки
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
по теоретической механике
Кинематика точки
Преподаватель ___________ Н.Г. Полюшкин
подпись, дата
Студент __________ ________________ ___________ Д.С. Глашев
номер группы номер зачетной книжки подпись, дата
Саяногорск 2018
Движение точки М задано уравнениями:
x = 3t; y=– 6t2+ 1,
где х и у − координаты точки, М; t − время, с.
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки в момент времени t = 0,5 c, а также радиус кривизны траектории.
Решение.
Движение точки, заданное координатным способом, происходит в плоскости Оху. Для определения уравнения траектории выразим время t из уравнения движения вдоль оси х:
и подставив в уравнение движения по оси у, получим
Следовательно, траекторией точки является ветвь параболы. В момент времени t=0,5 (с) точка находится в положении М (1,5; -0,5) (рис.1)
aτ
an
vy
v
vx
a
Рис.1
Вычислим проекции скорости и ускорения точки на декартовые оси при t=0,5 (с):
Тогда в декартовой системе координат векторы скорости и ускорения точки равны:
Найдем их модули:
Определим направления векторов и по формулам:
Следовательно, вектор скорости образует с осями Ох и Oу углы, равные 63 и 153, соответственно. Вектор ускорения точки М направлен вниз вдоль оси Oу (рис.1).
На рисунке 1 вектора скорости и ускорения показаны в масштабе. Масштаб скорости: 1 метр – 7,5 м/с. Масштаб ускорения: 1 метр – 8 м/с2 .
Поскольку точка М движется по кривой, то вектор её ускорения разложим на касательное ускорение и нормальное ускорение. Определим касательное ускорение точки в момент времени t =0,5 c:
Вычислим нормальное ускорение точки в этот момент времени
Тогда в данном положении точки радиус кривизны траектории равен
На рисунке 2.1 показаны: траектория точки М, в момент времени t =0,5 c; её положение на траектории; вектор скорости и его проекции на декартовые оси и ; вектор ускорения и его составляющие и .