Глашев Д.С. ГЭ17-02Б-1

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение

высшего образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Саяно-Шушенский филиал

кафедра Фундаментальной подготовки

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по теоретической механике

Кинематика точки

Преподаватель ___________ Н.Г. Полюшкин

подпись, дата

Студент __________ ________________ ___________ Д.С. Глашев

номер группы номер зачетной книжки подпись, дата

Саяногорск 2018

Движение точки М задано уравнениями:

x = 3t; y=– 6t²+ 1,

где х и у − координаты точки, М; t − время, с.

Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки в момент времени t = 0,5 c, а также радиус кривизны траектории.

Решение.

Движение точки, заданное координатным способом, происходит в плоскости Оху. Для определения уравнения траектории выразим время t из уравнения движения вдоль оси х:

и подставив в уравнение движения по оси у, получим

Следовательно, траекторией точки является ветвь параболы. В момент времени t=0,5 (с) точка находится в положении М (1,5; -0,5) (рис.1)

a_τ

a_n

v_y

v

v_x

a

Рис.1

Вычислим проекции скорости и ускорения точки на декартовые оси при t=0,5 (с):

Тогда в декартовой системе координат векторы скорости и ускорения точки равны:

Найдем их модули:

Определим направления векторов и по формулам:

Следовательно, вектор скорости образует с осями Ох и Oу углы, равные 63 и 153, соответственно. Вектор ускорения точки М направлен вниз вдоль оси Oу (рис.1).

На рисунке 1 вектора скорости и ускорения показаны в масштабе. Масштаб скорости: 1 метр – 7,5 м/с. Масштаб ускорения: 1 метр – 8 м/с² .

Поскольку точка М движется по кривой, то вектор её ускорения разложим на касательное ускорение и нормальное ускорение. Определим касательное ускорение точки в момент времени t =0,5 c:

Вычислим нормальное ускорение точки в этот момент времени

Тогда в данном положении точки радиус кривизны траектории равен

На рисунке 2.1 показаны: траектория точки М, в момент времени t =0,5 c; её положение на траектории; вектор скорости и его проекции на декартовые оси и ; вектор ускорения и его составляющие и .