Глашев Д.С. ГЭ17-02Б(с изменениями)
.pdfФедеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Саяно-Шушенский филиал
кафедра Фундаментальной подготовки
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
по теоретической механике
Кинематика точки
Преподаватель |
___________ |
Н.Г. Полюшкин |
|
подпись, дата |
|
Студент __________ ________________ |
___________ |
Д.С. Глашев |
номер группы номер зачетной книжки |
подпись, дата |
|
Саяногорск 2018
Движение точки М задано уравнениями:
x = 3t; y=– 6t2+ 1,
где х и у − координаты точки, М; t − время, с.
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки в момент времени t = 0,5 c, а также радиус кривизны траектории.
Решение.
Движение точки, заданное координатным способом, происходит в плоскости Оху. Для определения уравнения траектории выразим время t из уравнения движения вдоль оси х:
= 3
и подставив в уравнение движения по оси у, получим
= 1 −
2 2
3
Следовательно, траекторией точки является ветвь параболы. В момент времени t=0,5 (с) точка находится в положении М (1,5; -0,5) (рис.1)
1,5
1
0,5
0
-4 |
-3,5 |
-3 |
-2,5 |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
|
|
|
|
vx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,5 |
|
an |
|
|
|
aτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,5
-3
-3,5
-4
Рис.1
Вычислим проекции скорости и ускорения точки на декартовые оси при t=0,5 (с):
= ` = 3 м/с;= ` = −6 м/с;= `` = 0 м/с2;= `` = −12 м/с2;
Тогда в декартовой системе координат векторы скорости и ускорения точки равны:
= 3 − 6 ;= −12 .
Найдем их модули:
= √ 2 + 2 = √32 + (−6)2 = 3√5 м/с;
= √ 2 + 2 = √02 + (−12)2 = 12 м/с2;
Определим направления векторов и по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
√5 |
|||||||||||||
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( ) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−6 |
|
|
2√5 |
|||||||||||||||||||
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) = |
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
; |
||||||||||||||||
|
|
3√5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( ) = |
|
|
= |
12 |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos( ) = |
|
|
|
= |
12 |
|
|
|
= −1; |
|||||||||||||||||
Следовательно, вектор скорости образует с осями Ох и Oу углы, равные 63 и 153, соответственно. Вектор ускорения точки М направлен вниз вдоль оси Oу (рис.1).
На рисунке 1 вектора скорости и ускорения показаны в масштабе. Масштаб скорости: 1 метр – 7,5 м/с. Масштаб ускорения: 1 метр – 8 м/с2 .
Поскольку точка М движется по кривой, то вектор её ускорения разложим на касательное ускорение и нормальное ускорение. Определим касательное ускорение точки в момент времени t =0,5 c:
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + 72 |
|
24√5 |
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
≈ 10,73 м/с2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3√5 |
|
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислим нормальное ускорение точки в этот момент времени |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≈ 5,37 м/с2; |
||||||||
|
|
= √ 2 |
− 2 |
= √28,8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в данном положении точки радиус кривизны траектории равен
= |
2 |
= |
45 |
|
= 8,38 м. |
|
5,37 |
||||
|
|
|
|
|
|
На рисунке 2.1 показаны: траектория точки М, в момент времени t =0,5 c; её положение на траектории; вектор скорости и его проекции на декартовые оси и ; вектор ускорения и его составляющие и .