1.2.Динамика.Ч.В

Динамика поступательного движения

ФОРМУЛЫ

Ускорение тела:

, ,

здесь m – масса тела, F – сила, действующая на тело;

Второй закон Ньютона:

здесь F_i – внешние силы, действующие на тело, p = ma – импульс тела;

Третий закон Ньютона:

;

Закон всемирного тяготения, сила тяжести, ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли, соответственно:

; ; ;

здесь G = 6,67∙10^–11 Н∙м²/кг² – гравитационная постоянная, m_1,2 – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между центрами масс взаимодействующих тел, g = 9,80667 м/с² – ускорение свободного падения при h = 0, g_h – ускорение свободного падения на высоте h;

Сила упругости:

;

здесь k – коэффициент упругости, x – удлинение или сжатие пружины;

Сила трения:

; _,

здесь μ – коэффициент трения, N – сила реакции опоры, P – вес тела;

Первая космическая скорость на высоте h, первая космическая скорость на поверхности планеты, вторя космическая скорость, соответственно:

; ; ,

здесь υ_сп,h – скорость спутника планеты на высоте h, M_пл – масса планеты, R_пл – радиус планеты, υ_сп,1 – первая космическая скорость (скорость искусственного спутника планеты на высоте h = 0), υ_сп,2 – вторая космическая скорость (скорость, непосредственно у поверхности планеты, необходимая для того, чтобы тело навсегда улетело от планеты);

Момент силы:

,

здесь d – плечо силы;

Условие равновесия тела:

;

Давление:

,

здесь F – сила действия на опору, S – площадь поверхности опоры;

Давление в жидкости:

,

здесь ρ_ж – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, h – глубина погружения в жидкость;

Сила Архимеда и вес тела в жидкости:

, ,

здесь ρ_ж – плотность жидкости, V_погр – объём тела, погружённого в жидкость, g – ускорение свободного падения, P' – вес тела, погружённого в жидкость, P – вес тела.

Закон сохранения импульса тела. Столкновения частиц.

ФОРМУЛЫ

_{Импульс тела:}

,

здесь m – масса тела, υ – скорость тела;

Изменение импульса тела:

;

здесь F – сила, действующая на тело, t – время действия силы на тело, (F∙t) – импульс силы;

Закон сохранения импульса:

;

Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара двух шаров:

;

Скорость шаров после центрального абсолютно упругого удара двух шаров:

;

;

здесь m₁, m₂ – массы шаров, ʋ₁₀, ʋ₂₀, – скорости шаров до удара, ʋ, ʋ₁, ʋ₂, – скорости шаров после удара.

Закон сохранения энергии

ФОРМУЛЫ

_{Работа силы F:}

,

здесь S – перемещение, α – угол между вектором силы F и вектором перемещения S;

Мощность:

,

здесь N_дв – мощность двигателя, A_дв – работа двигателя, совершённая за время t, F_т – сила тяги двигателя, υ – скорость движения;

Кинетическая энергия:

,

здесь m – масса тела, υ – скорость тела, p – импульс тела;

Потенциальная энергия деформированной пружины:

,

здесь k – жесткость пружины, x – величина растяжения или сжатия пружины;

Потенциальная энергия относительно поверхности Земли:

,

здесь m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над поверхностью Земли;

Работа и изменение энергии:

, ; ,

здесь ΔE_к – изменение кинетической энергии в результате совершения над телом работы A, ΔE_п – изменение потенциальной энергии в результате совершения над телом работы A, ΔE_упр – изменение потенциальной энергии упругой деформации в результате совершения над телом работы A;

Закон сохранения механической энергии:

,

здесь E_к1,2 – суммарная кинетическая энергия системы, E_п1,2 – суммарная потенциальной энергия системы;

Коэффициент полезного действия;

,

здесь E_п – полезная энергия, выработанная энергетической машиной, E_з – затраченная энергия.

Закон Ньютона.

2.1.(1) На гладком столе лежит брусок массой m = 2,5 кг. К бруску привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F = – 10 Н, направленная параллельно поверхности стола. Найти ускорение a бруска.

[4]

2.2.(2) На столе стоит тележка массой m₁ = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением a будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂ = 1 кг? g = 10 м/с².

[2]

2.3.(3) К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m₁ = l,5 кг и m₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь. g = 10 м/с².

[40]

2.4.(2) Два бруска массами m₁ = 1 кг и m₂ = 4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением a будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F = 10 Н, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения T шнура, соединяющего бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь.

(1) [a = 2]

[F = 8]

[F = 2]

2.5.(3) На гладком столе лежит брусок массой m = 5 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири, массы которых m₁ = 3 кг и m₂ = 2 кг. Найти ускорение a, с которым движется брусок, и силу натяжения каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь. g = 10 м/с².

(1) [a = 1]

[F = 22]

[F = 27]

2.6.(4) Наклонная плоскость, образующая угол 25º с плоскостью горизонта, имеет длину ℓ = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость. g = 9,8 м/с². Ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения.

[353] [354]

2.7.(2) Материальная точка массой m = 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x = А + Bt + Ct² + Dt³, где С = 1 м/с², D = –0,2 м/с³. Найти значения этой силы в момент времени t = 5 с.

[8]

И.2.8.(3) Молот массой m = 1 т падает с высоты h = 2 м на наковальню. Длительность удара τ = 0,01 с. Определить среднее значение силы удара. g = 9,8 м/с². Ответ запишите в кН и округлите до целого значения.

[626] [627]

2.9.(2) Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью ʋ₀ = 20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэффициент трения μ шайбы о лед. g = 10 м/с². Ответ умножьте на 1000.

[50]

И.2.10.(3) Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусом r = 2 м в течение времени t = 2 с. Найти изменение Δp импульса точки. π = 3,14; √2 = 1,4. Ответ умножьте на 1000.

[2198]

И.2.11.(2) Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30º к горизонту с начальной скоростью ʋ₀ = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти импульс силы F, действующей на тело, за время его полета.

[100]

И.2.12.(2) Шарик массой m = 500 г упал с высоты h = 2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отскочил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить импульс р, полученный плитой. g = 9,8 м/с².

[7]

И.2.13.(2) Шарик массой m = 300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс p₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость ʋ₀ = 10м/с, направленную под углом α = 30º к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

[3]

И.2.14.(3) Гладкий наклонный желоб имеет в нижней части горизонтальный участок. По желобу соскальзывает с высоты h = 2,5 м брусок массой m = 1 кг. Начальная скорость ʋ₀ бруска равна нулю. Определить изменение Δp импульса бруска и импульс p, полученный желобом при движении тела. g = 9,8 м/с².

[7]

И.2.15.(2) Ракета массой m = 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением a = 2g. Скорость ʋ струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найти расход Q_m горючего. g = 10 м/с².

[25]

И.2.16.(1) Космический корабль имеет массу m = 4 т. При маневрировании из его двигателей вырывается струя газов со скоро ʋ = 800 м/с; расход горючего Q_m = 0,2 кг/с. Найдите реактивную силу R двигателей. Найдите ускорение a, которое она сообщает кораблю. Ответ запишите в см/с².

[160]

(3) [4]

И.2.17.(4) Вертолет массой m = 3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью ʋ ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора. g = 9,8 м/с². Плотность воздуха принять равным ρ = 1,21 кг/м³. π = 3,1416. Ответ округлите до целого значения.

[11] [10]

2.18.(3) Брусок массой m₂ = 5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения. На нем находится другой брусок массой m₁ = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков μ = 0,3. Определить максимальное значение силы F_max, приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска. g = 10 м/с².

[18]

2.19.(4) На горизонтальной поверхности находится брусок массой m₁ = 2 кг. Коэффициент трения μ₁ бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой m₂ = 8 кг. Коэффициент трения μ₂ верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена сила F. Определите значение силы F₂, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего бруска. g = 10 м/с².

[40]

2.20.(2) Ракета, масса которой M = 6 т, поднимается вертикально вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Определить ускорение a ракеты. Силой сопротивления воздуха пренебречь. g = 9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения.

[73] [74]

2.20.(3) Ракета, масса которой M = 6 т, поднимается вертикально вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Определить силу T натяжения троса, свободно свисающего с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от точки прикрепления троса. Масса m троса равна 10 кг. Силой сопротивления воздуха пренебречь. g = 9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения.

[ 624] [ 623]

2.21.(2) На плоской горизонтальной поверхности находится обруч, масса которого ничтожно мала. К внутренней части обруча прикреплен груз малых размеров, как это показано на рис. Угол α = 30º. С каким ускорением a необходимо двигать плоскость в направлении, указанном на рисунке, чтобы обруч с грузом не изменил своего положения относительно плоскости? Скольжение обруча по плоскости отсутствует. g = 9,8 м/с². Принять cos30º = 0,86.

[35]

2.22.(2) Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением a = 20 м/с^2. Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести mg. g = 9,8 м/с². Ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения.

[227] [228]

2.23.(2) Автоцистерна с керосином движется с ускорением a = 0,7м/с^2. Под каким углом φ к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне? g = 9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения.

[4] [5]

2.24.(2) Бак в тендере паровоза имеет длину ℓ = 4 м. Какова разность Δℓ уровней воды у переднего и заднего концов бака при движении поезда с ускорением a = 0,5 м/с²? g = 10 м/с². Ответ запишите в см.

[ 20]

И.2.25.(4) Неподвижная труба площадью поперечного сечения S, равной 10 см², изогнута под углом φ = 90º и прикреплена к стене (рис.). По трубе течет вода, объемный расход Q_V которой 50 л/с. Найти силу F давления струи воды, вызванную изгибом трубы. Плотность воды ρ = 1000 кг/м³. √2 = 1,41.

[3525]

2.26.(4) Струя воды ударяется о неподвижную плоскость, поставленную под углом φ = 60º к направлению движения струи. Скорость ʋ струи равна 20 м/с, площадь S ее поперечного сечения равна 5 см². Определить силу F давления струи на плоскость. Плотность воды ρ = 1000 кг/м³. √3 = 1,73.

[173]

2.27.(И5) Катер массой m = 2 т с двигателем мощностью N = 50 кВт развивает максимальную скорость ʋ_max = 25 м/с. Определить время t в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

[25]

2.28.(И5) Снаряд массой m = 10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью ʋ₀ = 800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k = 0,25 кг/с. g = 10 м/с². ln3 = 1,1.

[44]

2.29.(И5) С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой m = 100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени t ускорение a груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k = 10 кг/с. Ответ запишите в миллисекундах. ln2 = 0,6931.

[6931]

2.30.(И5) Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления F_c пропорциональной скорости, определить скорость ʋ лодки через τ = 20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k = 20 кг/с. Число «e» = 2,71828. Ответ умножить на 100 (записать в см/с) и округлить до целого значения.

[632] [633]

2.31.(И5) Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение времени τ = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость ʋ = 4м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления F_c движению пропорциональной скорости; коэффициент сопротивления k = 100 кг/с. Число «e» = 2,71828. Ответ округлите до целого значения.

[1017] [1016]

2.32.(И5) Начальная скорость ʋ₀ пули равна 800 м/с. При движении в воздухе за время t = 1 с ее скорость уменьшилась до ʋ = 200 м/с. Масса m пули равна 10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротивления k. Действием силы тяжести пренебречь. Ответ умножьте на 10⁷.

[375]

2.33.(И5) Парашютист, масса которого m = 80 кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени τ скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления k = 10 кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю. Ответ округлите до целого значения.

[18] [19]

Закон сохранения импульса.

И.2.34.(1) Шар массой m₁ = 10 кг, движущийся со скоростью ʋ₁ = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, скорость ʋ₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость u шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

[7]

[2]

И.2.35.(1) В лодке массой m₁ = 240 кг стоит человек массой m₂ = 60 кг. Лодка плывет со скоростью ʋ₁ = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью ʋ₀ = 5 м/с (относительно лодки). Найти скорость u движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

[1]

[3]

И.2.36.(2) На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека M = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью ʋ (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) u = 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать. Ответ запишите в см/с.

[75]

И.2.37.(2) В предыдущей задаче найти, на какое расстояние: 1) передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски; 2) переместится человек относительно пола. Длина ℓ доски равна 2 м. Ответ записать в см.

[150]

[50]

И.2.38.(2) На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M = 15 т. Орудие стреляет вверх под углом φ = 60º к горизонту в направлении пути. С какой скоростью ʋ₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m = 20 кг и он вылетает со скоростью ʋ₂ = 600 м/с? Ответ запишите в см/с.

[40]

И.2.39.(1) Снаряд массой m = 10 кг обладал скоростью ʋ = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой m₁ = 3 кг получила скорость u₁ = 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u₂ второй, большей части после разрыва.

[150]

И.2.40.(3) В предыдущей задаче найти, с какой скоростью u₂ полетит большая часть снаряда, если меньшая полетела вперед под углом φ₁ = 60º к горизонту. Ответ округлите до целого значения. Под каким углом к горизонту φ₂ полетит большая часть снаряда? Ответ округлите до целого значения.

[249] [250]

[36] [37]

И.2.41.(2) Два конькобежца массами m₁ = 90 кг и m₂ = 60 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью ʋ = 1 м/с. С какими скоростями u₁ и u₂ будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

[40]

[60]

Динамика материальной точки, движущейся по окружности.

2.42.(3) Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ = 0,4, найти частоту N вращения, при которой кубик соскользнет с диска. g = 9,8 м/с², π = 3,14. Ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения.

[50] [49]

2.43.(1) Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом R = 4 м. С какой наименьшей скоростью ʋ_min должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться? g = 9,8 м/с². Ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения.

[626] [627]

2.44.(3) К шнуру подвешена гиря массой m = 1 кг. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила Т натяжения шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол φ с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири? g = 10 м/с². Ответ округлите до целого значения.

[30]

[70] [71]

2.45.(2) Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести P летчика, если скорость самолета ʋ = 100 м/с? ? g = 10 м/с².

[6]

2.46.(3) Грузик, привязанный к шнуру длиной ℓ = 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол φ образует шнур с вертикалью, если частота вращения n = 1 с^-1? g = 9,8 м/с², π = 3,14. Ответ округлите до целого значения.

[60] [61]

2.47.(3) Грузик, привязанный к нити длиной ℓ = 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период T обращения, если нить отклонена на угол φ = 60º от вертикали. g = 9,81 м/с², π = 3,1416. Ответ округлите до целого значения.

[1419] [1418]

2.48.(1) При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. Чему будет равна центробежная сила F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 с^-1? Масса m маховика равна 100 кг. π = 3,1416. Ответ округлите до целого значения.

[39] [40]

2.49.(3) Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии ℓ = 0,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения μ покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью ʋ_min должен ехать мотоциклист? g = 9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения. Каков будет при этом угол φ = наклона его к плоскости горизонта?

[13] [14]

[31] [30]

2.50.(2) Автомобиль массой m = 5 т движется со скоростью ʋ = 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост в его верхней части, если радиус R крутизны моста равен 50 м. Ответ запишите в килоньютонах (кН). g = 9,8 м/с².

[39]

2.51.(2) Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 1 с^-1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол φ наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 25 см от оси? g = 9,8 м/с², π = 3,14. Ответ округлите до целого значения.

[45] [46]

2.52.(3) Автомобиль едет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения μ колес о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости ʋ автомобиля начнется его занос? g = 9,8 м/с².

[14]

2.53.(3) Какую наибольшую скорость ʋ_max может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент трения скольжения μ между шинами и асфальтом равен 0,4? Каков угол φ отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению? g = 9,8 м/с².

[14]

[22] [21]

2.54.(3) Самолет массой m = 2,5 т летит со скоростью ʋ = 400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол φ наклона самолета и подъемную силу F крыльев во время полета (в кН). g = 9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения.

[68] [69]

[66] [65]

2.55.(1)(3) Вал вращается с частотой n = 2400 мин^-1. К валу перпендикулярно его оси прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m = 1 кг каждый, находящиеся на расстоянии R = 0,2 м от оси вала. Найти: l) силу F, растягивающую стержень при вращении вала (в кН); 2) момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом φ = 89º к оси вала. π = 3,14. Ответ округлите до целого значения.

[12] [13]

[88] [89]

2.56.(5) Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см вращается относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить нормальное напряжение σ, возникающее в кольце, если ось вращения перпендикулярна плоскости кольца.

[8930]

Работа и энергия

2.57.(3) Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S = 5 м и приобрела скорость ʋ =2 м/с. Определить работу A силы, если масса m вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01. g = 9,8 м/с².