Молекулярно-кинетическая теория

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул:

, ,

здесь – среднее значение квадрата скорости молекул (средняя квадратичная скорость), k = 1,38∙10^–23 Дж∙К^–1 – постоянная Больцмана, T – термодинамическая (абсолютная) температура, i – число степеней свободы;

Среднее значение квадрата скорости молекул (средняя квадратичная скорость):

;

Средняя арифметическая скорость молекул:

;

Наиболее вероятная скорость молекул:

;

Давление газа:

, , , , ,

здесь n = N/V = ρ/m₀ – концентрация молекул, V – объём, занимаемый газом, ρ – плотность газа.

Элементы статистической физики

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести и распределение частиц в однородном силовом поле, соответственно):

,

здесь p – давление на высоте h, n – концентрация молекул на высоте h, p₀, n₀ давление и концентрация частиц на уровне моря (h = 0), m₀ – масса одной молекулы, M – молярная масса, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая (абсолютная) температура, R – универсальная газовая постоянная;

Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям):

,

здесь ʋ – скорость молекулы;

Число молекул, скорости которых заключены в пределах от ʋ до ʋ + dʋ:

,

здесь N – общее число молекул;

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени:

,

здесь d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул, ‹ʋ› – средняя арифметическая скорость молекул;

Среднее длина свободного пробега:

;

Импульс, переносимый молекулами из одного слоя в другой через элемент поверхности:

,

здесь η – динамическая вязкость газа, dʋ/dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев, ΔS – площадь элемента поверхности, dt – время переноса;

Динамическая вязкость:

,

здесь ρ – плотность газа;

Вязкое трение:

,

здесь F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа;

Закон Фурье:

здесь ΔQ – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью ΔS за время Δt, λ – теплопроводность, dT/dx – градиент температуры;

Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа:

,

здесь c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

Закон Фика:

,

здесь Δm – масса газа, перенесенная в результате диффузии через сечение площадью ΔS за время Δt, D – коэффициент диффузии, dn/dx – градиент концентрации молекул;

Диффузия (коэффициент диффузии):

.

Примеры решения задач

1. Какое давление на стенки сосудов оказывал бы идеальный газ с концентрацией 100 миллиардов молекул в кубическом миллиметре при средней квадратичной скорости движения молекул 1 км/с и массе молекулы 3·10^–27 кг?

Дано: n = 1020 м–3; ʋ = 103 м/с; m0 = 3·10–27 кг;	Решение: Для вычисления давления идеального газа используем основное уравнение молекулярно-кинетической теории . Подставляя значения величин, взятых в системе СИ, получаем
p – ?

0,1 Па.

Давление идеального газа с заданными параметрами оказывается в миллион раз меньше нормального атмосферного давления.

Ответ: p = 0,1 Па.

2. Считая воздух идеальным газом, оцените скорость теплового движения молекул газа при нормальных условиях.

Дано: p = 105 Па; ρ = 1,3 кг/м3;	Решение: Для решения задачи можно использовать основное уравнение молекулярно-кинетической теории .
ʋ – ?

_{Так как произведение массы молекулы} m₀ на концентрацию молекул n равно плотности ρ газа, то давление идеального газа равно

.

Из этого уравнения следует, что для оценки скорости теплового движения молекул идеального газа можно использовать уравнение (т.е. вычислим среднеквадратичную скорость)

.

Давление воздуха при нормальных условиях равно примерно 10⁵ Па, плотность 1,3 кг/м³. Подставляя эти значения, получаем

м/с.

Ответ: ʋ = 480 м/с.

3. Вычислите среднюю кинетическую энергию молекул идеального при температуре 27 ºС.

Дано: t = 27 ºС; k = 1,83·10–23 Дж/К;	Решение: Средняя кинетическая энергия Е теплового движения молекул идеального газа связана с абсолютной температурой T газа уравнением ,
E – ?

где k – постоянная Больцмана. Для вычисления средней кинетической энергии молекул температуру газа по шкале Цельсия нужно перевести в температуру по абсолютной шкале:

T = t + 273 = 27 + 273 = 300 К.

Подставляя значения температуры и постоянной Больцмана, находим значение средней кинетической энергии молекул идеального газа:

Дж.

Ответ: E = 6,2·10^–21 Дж.

4. В баллоне объемом 30 дм³ находится водород под давлением 5·10⁶ Па при температуре 27 ºС. Определите массу газа, считая водород идеальным газом.

Дано: p = 5·106 Па; V = 3·10–2 м3; M = 2·10–3 кг/моль; R = 8,31 Дж/К·моль; T= 300 К;	Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа Из этого уравнения следует ,
m – ?

где М – молярная масса газа; Т – его абсолютная температура. Переведём все величины в СИ и подставим их в расчетную формулу:

кг.

Ответ: m = 0,12 кг.

5. Какой объем занимает 2 моль идеального газа при условиях, соответствующих условиям в фотосфере Солнца? Температура фотосферы 6000 К, давление 1,25·10² Па.

Дано: p = 1,25·102 Па; ν = 2 моль; R = 8,31 Дж/К·моль; T = 6000 К;	Решение: Для решения задачи используем уравнение состояния идеального газа в форме Объем газа из этого уравнения равен .
V – ?

Переведём все величины в СИ и подставим их в расчетную формулу:

м³.

Ответ: V = 800 м³.

6. При температуре 27 ºС и давлении 10⁵ Па объем воздушного шара, заполненного гелием, равен 500 м³. Каким будет объем этого шара, если при подъеме в верхние слои атмосферы температура понизится до –33 ºС, а давление станет равным 5·10⁴ Па? Массу гелия считать постоянной.

Дано: p = 1,25·102 Па; ν = 2 моль; R = 8,31 Дж/(К·моль); T = 6000 К;	Решение: Из уравнения состояния идеального газа , при условии m = const, следует, что . Поэтому выполняется равенство.
V – ?

.

Из него получаем

;

м³.

Ответ: V = 800 м³.

7. Вычислите кинетическую энергию теплового движения всех молекул воздуха в физическом кабинете. Объем кабинета – 140 м³, давление воздуха – 10⁵ Па. Сколько воды можно было бы нагреть от 0 до 100 ºС с при полном использовании этой энергии?

Дано: p = 105 Па; V = 210 м3; ΔT = 100 К; c = 42·103 Дж/(кг·К);	Решение: Считая, что свойства воздуха близки к свойствам идеального газа, применим для вычисления кинетической энергии хаотического теплового движения всех его молекул формулу , здесь i – количество степеней свободы, для воздуха i = 5.
U – ? m – ?

Используя уравнение состояния идеального газа

,

запишем выражение для кинетической энергии хаотического движения всех молекул в следующем виде:

,

Дж.

Для вычисления массы нагреваемой воды запишем уравнение теплового баланса

и выразим из него массу m:

.

По условию задачи Q = U, поэтому масса нагреваемой воды равна

кг.

Ответ: m = 125 кг.

8. Как изменится объем пузырька воздуха при всплывании его со дна озера глубиной 10 м к поверхности воды? Температура воды у дна озера и у поверхности одинакова. Атмосферное давление принять равным 10⁵ Па.

Дано: h1 = 20 м; h2 = 0 м; ρ = 1000 кг/м3; g = 9,8 м/с2; T1 = T2; p0 = 105 Па;	Решение: Объем пузырька воздуха при всплывании будет изменяться из-за уменьшения давления. Так как температура воды одинакова у дна озера и у поверхности воды, изменение объема воздуха будет происходить в результате его изотермического расширения. При изотермическом процессе давление и объем газа связаны соотношением . Отсюда
V2/V1 – ?

.

Давление p₂ у поверхности воды равно внешнему атмосферному давлению p₀. Давление p₁ на глубине h₁ складывается из внешнего атмосферного давления и давления водяного столба: p₁ = p₂ + ρgh₁.

Подставляя численные значения величин, получаем

,

.

Ответ: V₂/V₁ = 2.

9. По графику процесса, осуществленного с идеальным газом (рис.), постройте графики этого процесса в координатных осях р, Т и V, Т. Температура газа в начальном состоянии 1 была равна 250 К.

Решение:

График на рисунке показывает, что давление газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 увеличилось в 3 раза, а объем в течение всего процесса оставался неизменным. Следовательно, процесс изменения состояния газа был изохорным. При изохорном процессе связь между давлением газа р и абсолютной температурой Т выражается уравнением p = p₀αT.

Из этого уравнения следует, что отношение давления газа p к абсолютной температуре Т при изохорном процессе является постоянной величиной:

или .

Отсюда

;

К.

По известным начальным и конечным значениям давления и температуры построим в системе координат с осями р, Т точки 1 и 2, соответствующие начальному и конечному состояниям газа. Зависимость давления р от температуры Т линейная, – следовательно, график изохорного процесса в координатных осях р, Т является прямой, проходящей через точки 1 и 2 (рис.).

В координатных осях V, Т график изохорного процесса – это отрезок прямой, параллельной оси абсцисс, с ординатой, равной объему газа. Концы отрезка определяются прямыми, параллельными оси ординат и проходящими через точки на оси абсцисс, соответствующие значениям начальной и конечной температуры (рис.).

10. До какого давления накачан футбольный мяч емкостью V_м = 3 л, если при этом было сделано N = 40 качаний поршневого насоса? За каждое качание насос захватывает из атмосферы V_п = 150 см³ воздуха. Атмосферное давление p₀ = 100 кПа. Содержанием воздуха в мяче до накачки пренебречь. Температура постоянна.

Дано: Vм = 3 л; Vп = 150 см3; p0 = 100 кПа; N = 40;	Решение: Воздух, попавший в мяч в результате накачки, перед этим занимал объем NV2 при атмосферном давлении p0. Из уравнения состояния следует, что если температуры начального и конечного состояний одинаковы, то давление и объемы связаны соотношением .
p – ?

Для данной задачи получаем

,

Откуда находим давление воздуха в мяче

Па.

Ответ: p = 200 кПа.

11. Пылинки массой m = 10^-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.

Дано: m = 10-18 г; T = 300 К; k = 1,38∙10-23 Дж/К; g = 9,8 м/с2; Δn/n = 1%;	Решение: При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана .
Δz – ?

По условию задачи, изменение Δn/n концентрации с высотой мало по сравнению с n (Δn/n = 0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации Δn можно заменить дифференциалом dn.

Продифференцируем формулу Больцмана по z

.

Так как , то

.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты

мм.

Ответ: Δz = 4,23 мм.