- •Закон сохранения заряда. Закон Кулона.
- •2. Уравнение непрерывности. Закон Ома для однородного участка проводника. Уравнение непрерывности
- •Закон Ома для однородного участка проводника
- •Сторонние силы. Эдс
- •Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •Напряженность электростатического поля двух
- •Первое правило Кирхгофа
- •Переходные процессы в конденсаторах (зарядка конденсатора).
- •Формула 1 — закон электромагнитной индукции для движущегося точечного заряда
- •Формула 2 — модуль вектора индукции
- •Магнитное поле соленоида
- •Проводники в электрическом поле.
- •16. Момент сил, действующий на контур с током
- •По модулю
- •После интегрирования получим
- •Плотность энергии электрического поля
- •Энергия заряженного конденсатора
- •. Индуктивность
- •1. Теорема Гаусса в интегральной форме
- •2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
- •Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
- •Энергия диполя
- •2.6.2. Теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения
- •2.7. Связь между векторами и
Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда +.
Рис.
3
В симметричных точках этого поля вектор равен по модулю и противоположен по направлению. В связи с этим в качестве замкнутой поверхности можно выбрать цилиндрическую (рис. 3). Полный поток вектора пронизывающий
Фе = 2ЕS.
Согласно теореме Гаусса
,
где
.
Таким образом,
или
, (13)
где Еn проекция вектора на нормаль ( , рис. 3).
Если 0, то Еn 0, т. е. вектор направлен от заряженной плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).
Если 0, то Еn 0, т. е. вектор форме направлен к заряженной плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).
Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.
Уравнения Пуассона и Лапласа
Общая задача электростатики заключается в том, что если неизвестно распределение зарядов, но известны потенциалы проводников, их относительное расположение и форма, то можно определить потенциал в любой точке электростатического поля между проводниками. Зная потенциал , можно найти напряженность поля , что даст возможность указать распределение поверхностных зарядов проводников.
Для нахождения дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция потенциал, воспользуемся дифференциальной формой теоремы гаусса.
Решив совместно эти уравнения, получим общее дифференциальное уравнение Пуассона уравнение для потенциала в виде
, (2)
где 2 оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде .
При отсутствии зарядов между проводниками уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа, т. е.
2 = 0. (3)
Уравнения Пуассона и Лапласа позволяют решить общую задачу электростатики, решение которой является единственным (теорема единственности
2. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной форме
Ток смещения
Если замкнуть ключ (рис. 6.1), то лампа при постоянном токе гореть не будет: емкость C – разрывает цепь постоянного тока. Но вот в моменты включения лампа будет вспыхивать.
Рис. 7.1
При переменном токе – лампа горит, но в то же время нам ясно, что электроны из одной обкладки в другую не переходят – между ними изолятор (или вакуум). А вот если бы взять прибор, измеряющий магнитное поле, то в промежутке между обкладками мы обнаружили бы магнитное поле (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Этот термин имеет смысл в таких веществах, как, например, диэлектрики. Там смещаются заряды под действием электрического поля. Но в вакууме зарядов нет – там смещаться нечему, а магнитное поле есть. То есть название Максвелла «ток смещения» – не совсем удачное, но смысл, вкладываемый в него Максвеллом, – правильный.
Максвелл сделал вывод: всякое переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.
Токи проводимости в проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике или в вакууме. Переменное электрическое поле в конденсаторе создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий величину, равную току в металлическом проводнике.
Это утверждение позволяет (на базе нашего примера с конденсатором) найти величину тока смещения. В свое время мы с вами доказали, что поверхностная плотность поляризационных зарядов σ равна – вектору электрического смещения:
|
, |
(7.2.2) |
|
Полный заряд на поверхности диэлектрика и, следовательно, на обкладках конденсатора (S – площадь обкладки)
Тогда
|
, |
(7.2.3) |
|
т.е. ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения . Поэтому он и получил такое название – ток смещения.
Плотность тока смещения
|
, |
(7.2.4) |
|
Вихревое магнитное поле ( ) образующееся при протекании тока смещении, связано с направлением вектора правилом правого винта (рис. 7.2).
Из чего складывается ток смещения?
Из раздела «Электростатика и постоянный ток» (п. 4.3), известно, что относительная диэлектрическая проницаемость среды где χ – диэлектрическая восприимчивость среды. Тогда
или
Отсюда видно, что – вектор поляризации. Следовательно
|
, |
(7.2.5) |
|
В этой формуле – плотность тока смещения в вакууме; – плотность тока поляризации, т.е. плотность тока, обусловленная перемещением зарядов в диэлектрике.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Закон Гаусса - - Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Закон Гаусса для магнитного поля - - Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея - - Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Теорема о циркуляции магнитного поля - - Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
— двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
— электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);
— электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).
Билет №16
1. Диэлектрический диполь. Энергия диполя