Основные положения геодезии. Лягина.2008

Рис. 4. Графическое интерполирование: а – подготовка плана для интерполирования; б – палетка; в – интерполирование с помощью палетки.

оцифрованных согласно выбранной высоте сечения h и высотных отметок точек задания (рис4, б).

Интерполирование производится следующим образом. Накладывают палетку, например, на линию 1-2 (рис. 4, в) так, чтобы точка 1 оказалась на существующей отметке палетки. Затем, прижав палетку в точке 1 иглой, вращают палетку вокруг этой точки до тех пор, пока точка 2 не окажется на соответствующей отметке палетки. Точки пересечения линии 1-2 линиями палетки перекалывают на план и у каждой их точек подписывают соответствующую отметку. Аналогично интерполируют все другие линии. После этого точки на плане с одинаковыми отметками соединяют плавными кривыми линиями толщиной 0,1мм, используя свойства горизонталей. Горизонтали с отметками, кратными 5м, утолщают до 0,2-0,25мм и в разрыве подписывают их отметки в сторону падения ската. Все вспомогательные линии с плана убирают. В результате получают изображение рельефа местности горизонталям (рис. 5).

8

План Масштаб 1:2000

Сечение рельефа через 1м Рис. 5 Изображение рельефа местности горизонталями.

Построение профиля по заданному направлению

Кроме изображения рельефа местности на горизонтальной плоскости при проектировании инженерных сооружений необходимо построение разреза местности, т.е. профиля по заданному направлению. Для большей наглядности вертикальный масштаб профиля обычно принимают в 10 раз крупнее горизонтального масштаба, т.е. масштаба плана.

Для построения профиля по заданному на плане направлению АВ (рис.5) на листе бумаги проводят горизонтальный отрезок, равный длине линии АВ

(рис. 6).

Профиль местности по линии АВ Масштабы: горизонтальный – 1 : 2000

вертикальный – 1 : 200

Рис. 6. Изображение рельефа местности на вертикальной плоскости

9

На этом отрезке отмечают положение точек пересечения линии АВ с горизонталями плана. Из этих точек восстанавливают перпендикуляры длиной, равной разности соответствующих отметок и условного горизонта (УГ). Условный горизонт выбирают с таким расчётом, чтобы профиль располагался выше условного горизонта. Соединив концы перпендикуляров линиями, получают профиль местности по заданному направлению.

Лабораторная работа 2 ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Цель работы: научиться решать прямые и обратные геодезические задачи.

Краткие теоретические сведения

Обработка результатов полевых измерений на местности, проводимая при составлении планов, решении ряда задач при проектировании сооружений и геодезической подготовке данных для выноса проекта в натуру, связаны с решением прямой и обратной геодезической задач.

Прямая геодезическая задача

Сущность прямой геодезической задачи заключается в следующем: известны координаты одной из точек, например, точки А (хА, уА), дирекционный угол стороны АВ – αАВ и её горизонтальная проекция dАВ (рис. 7). Требуется определить координаты второй точки В (хВ, уВ).

С

Рис. 7. Схема к решению прямой и обратной геодезических задач

Проведя через точки А и В линии, параллельные координатным осям, получим прямоугольный треугольник АВС, в котором известны гипотенуза dАВ

10

иострый угол rАВ= αАВ. Катеты этого треугольника есть приращения координат

хи у, которые могут быть получены по формулам:

Если расчёты х и у выполняются по румбам, необходимо правильно выбрать знаки приращений координат. Они будут зависеть от четверти, в которой находится данное направление, четверть зависит от значения дирекционного угла (табл. 2).

Таблица 2 Соотношения между дирекционными углами и румбами

Контроль вычисления приращений координат:

Координаты искомой точки В определяются по формулам:

Приращения координат и координаты искомой точки вычисляются с точностью, соответствующей точности измерения горизонтальной длины линии.

Этим способом можно найти координаты любого числа точек по правилу, вытекающему из формулы (4): координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующее приращение со своим знаком.

Обратная геодезическая задача

Сущность обратной геодезической задачи: по известным координатам точек А(хА, уА) и В(хВ, уВ) требуется определить дирекционный угол направления αАВ и горизонтальное приложение (горизонтальную проекцию) стороны dАВ.

11

Согласно рис. 7 приращения координат можно вычислить по формулам:

При определении приращений координат х и у необходимо помнить, что если вычисляется дирекционный угол направления АВ (αАВ), то из координат конечной точки вычисляют координату начальной; при определении αВА – наоборот из координаты точки А вычитают координату точки В. Исходя из этого правила определяются знаки приращений координат – «плюс» или «минус».

По найденным значениям приращений координат х и у в прямоугольном треугольнике, вычисляют табличный угол:

находится данное направление, по четверти определяют дирекционный угол направления (см. табл. 2).

Зная дирекционный угол направления и приращения координат, определяют горизонтальное приложение стороны

Значение горизонтального проложения стороны необходимо определить по всем трём формулам; сходимость результатов служит надёжным контролем решения задачи.

Примеры решения прямой и обратной геодезических задач

Пример 1. Даны: координаты точки А (хА=1035,06м, уА=8472,34м), дирекционный угол направления αАВ=224º38'45", горизонтальное расстояние между точками dАВ=146,35м. Требуется вычислить координаты точки В (хВ, уВ). Строим схему в произвольном масштабе (рис.8).

Вычисляем приращения координат:

х=dАВ·cosαАВ=146,35·cos224º38'45"=146,35·(-0,711464)=-104,12м; у= dАВ·sinαАВ=146,35·sin224º38'45"=146,35·(-0,702722)=-102,84м;

Осуществляем контроль:

d AB x2 y2 ( 104.12)2 ( 102.84)2 10840.9744 10576.0656 21417.04 146.35, м

12

Рис. 8. Схема к примеру решения прямой геодезической задачи

Вычисляем координаты точки В:

хВ=хА+Δх=1035,06+(-104,12)=930,94м; уВ=уА+Δу=8472,34+(-102,84)=8369,50м.

Пример 2. Даны координаты точки А (хА=786,44м, уА=134,29м); координаты точки В (хВ=634,82м, уВ=274,98м). Определить дирекционный угол направления АВ - αАВ и горизонтальную проекцию отрезка АВ - dАВ.

По исходным данным в произвольном масштабе наносим на план точки А и В (рис. 9).

Рис. 9. Схема к примеру решения прямой геодезической задачи

13

Вычисляем приращения координат:

х= хВ - хА = 634,82 - 786,44 = - 151,62м;

у= уВ - уА = 274,98 - 134,29 = + 140,69м.

Вычисляем табличный угол:

отсюда rАВ=42º51'31".

По знакам приращений координат +Δу и – х направление АВ находится во второй четверти, отсюда

α = 180º - r = 180º - 42º51'31" = 137º08'29".

Горизонтальную проекцию dАВ рассчитываем по трем формулам:

d AB x2 y2 ( 151.62)2 ( 140.69)2 206.84 м.

Лабораторная работа 3. МАСШТАБЫ ПЛАНОВ И КАРТ И ИХ ТОЧНОСТЬ

Цель работы: изучить масштабы планов и карт и получить практические навыки по их применению.

Краткие теоретические сведения

При составлении планов и карт горизонтальные проекции линий местности уменьшают в определённое число раз в зависимости от требований к точности, предъявляемых к планам и картам.

Степень уменьшения горизонтальных проекций линий местности при изображении их на плане или карте называется масштабом. Иными словами, масштаб есть отношение длины отрезка s на плане или карте к горизонтальной проекции соответствующего отрезка S на местности, т.е. s / S –масштаб.

Различают численный и графический масштабы.

14

Численный масштаб

Численный масштаб – это правильная дробь, числитель которой есть единица, а знаменатель – число, показывающее, во сколько раз горизонтальные проекции линий местности уменьшены на плане или карте.

где М –знаменатель численного масштаба. Чем больше знаменатель численного масштаба М, тем больше степень уменьшения горизонтальных проекций отрезков местности, тем мельче масштаб плана или карты.

В геодезии применяются следующие масштабы: для планов - 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000; для карт - 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000, 1:200000, 1:300000, 1:500000, 1:1000000.

Указанные отношения показывают, что горизонтальные проекции линий местности уменьшены на плане соответственно в 500, 1000, 2000, и т.д. раз, т.е. отрезку в 1 см на плане соответствуют на местности длины: 500см или 5м; 1000см или 10м; 2000см или 20м и т.д. На картах ниже подписи численного масштаба, например 1:10000, проводится пояснительный масштаб: «в 1см -

100м».

При помощи масштабов можно решать следующие задачи:

- по длине горизонтальной проекции линии S на местности определить длину соответствующего отрезка s на плане масштаба M1 . Например: S=126,8м;

Графический масштаб

Для исключения вычислений при решении указанных задач удобнее пользоваться графическими масштабами, к которым относятся линейный и поперечный (трансверсальный) масштабы.

Линейным масштабом называется графическое изображение численного масштаба в виде прямой линии с делениями для отсчёта расстояний (рис. 10).

Для построения линейного масштаба на прямой линии откладывают ряд отрезков одинаковой длины а (например, а = 2см), называемой основанием линейного масштаба. Крайний левый отрезок делят на 10 равных частей; на правом его конце ставят 0, а не левом – число метров (или километров), которое соответствует основанию в заданном масштабе. Вправо от 0 деления масштаба подписывают значениями соответствующих расстояний на местности. Размерность ставится один раз в правом конце линейного масштаба.

15

Рис. 10 Линейный масштаб

На рис.10 показан линейный масштаб для численного масштаба 1:1000.

Основание масштаба а = 20м, 10a 2 м.

Чтобы отложить отрезок на плане, равный 56м, используя линейный масштаб, нужно правую ножку циркуля-измерителя поставить на деление 40, а левую на восьмую чёрточку от 0.Десятые доли малого деления оцениваются на глаз. В связи с этим линейный масштаб во многих случаях не позволяет измерять расстояния с необходимой точностью.

При оценке точности нанесения точек на план исходят их физиологических возможностей человеческого глаза различать минимальный отрезок, равный 0,1мм (размер точки, поставленной остро отточенным карандашом, кружок от укола остро отточенной иглы). Отсюда следует, что на плане (карте) в самом благоприятном случае можно изобразить лишь такие горизонтальные проекции линий местности, которым в данном масштабе соответствует отрезок 0,1мм и более.

Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее 0,1мм (0,01см) на плане, называется предельной точностью масштаба tпр, т.е.

Длина отрезка на плане или карте может быть оценена с точностью ±0,2мм. Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее в данном масштабе 0,2мм (0,02см) на плане, называется графической точностью масштаба tграф., т.е.

Для повышения точности измерений расстояний на плане или карте применяют поперечный масштаб. Для его построения на отрезке АВ (рис. 11)

16

несколько раз откладывают основание масштаба, равное обычно 2см. В полученных точках восстанавливают перпендикуляры к линии АВ произвольной, но равной длины. Два крайних перпендикуляра делят на m равных частей и через одноимённые точки проводят линии параллельные прямой АВ. Левые нижнее АО и верхнее СД основания делят на n равных частей; точку О нижнего основания соединяют наклонной линией с первой точкой Е верхнего основания СД, а через все остальные точки проводят линии, параллельные ОЕ (трансверсали).

Рис. 11 Поперечный масштаб

Наименьшее деление ed поперечного масштаба определится из подобия треугольников

где p – наименьшее деление поперечного масштаба, p = ed.

Если основание масштаба а = 2см, а m = n = 10, то имеем нормальный сотенный поперечный масштаб.

Выразив наименьшее деление масштаба р в масштабе плана или карты, получим точность поперечного масштаба.

Каждая линия, откладываемая на плане или карте, слагается из трёх частей:

-числа целых оснований а, взятых от нулевого перпендикуляра до правой ножки циркуля-измерителя;

-числа малых делений – десятых долей основания 10a , взятых от нулевого

перпендикуляра до левой ножки циркуля-измерителя;

17