Матеша 3 семак.docx
.pdf
39. Признак Даламбера.
40. Радикальный признак Коши.
41. Интегральный признак Коши.
42. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Ряд называется знакопеременным, если любые его члены могут быть как положительными, так и отрицательными.
43. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
44. Функциональные ряды. Область сходимости, сумма ряда.
45. Равномерная сходимость. Мажорируемые ряды. Признак
Вейерштрасса.
46. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема. (Непрерывность суммы рядаЕсли) члены ряда |
∞ |
- непрерывные на |
|
∑ ( ) |
|
|
=1 |
|
отрезке [ , ] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) является непрерывной функцией на отрезке [ , ].
Теорема. (О почленном интегрировании рядаРавно) мерно сходящийся на отрезке [ , ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ , ], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
β ∞ |
∞ β |
|
α, β [ , ] |
|
|
∫ ∑ ( ) = ∑ ∫ ( ) , |
|
|
|||
α =1 |
=1 α |
|
|
|
∞ |
Теорема. (О почленном дифференцировании рядаЕсли) |
члены ряда |
||||
|
|
|
|
|
∑ ( ) |
|
|
|
|
|
=1 |
сходящегося на отрезке [ , ] представляют собой непрерывные функции, имеющие
∞
непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных ∑ ' ( )
=1
сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
∞ |
∞ ( ) |
|
∑ ( ) = |
∑ |
|
=1 |
=1 |
|
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
47. Степенные ряды. Теорема Абеля.
48. Радиус, интервал сходимости степенного ряда. Способы нахождения
радиуса сходимости.
49. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда, следствия из нее.
Примечание: → − знак следствия
∞
Теорема: ∑ равномерно сходится на любом отрезке от [− , ] целиком
=1
лежащем внутри интервала сходимости. Доказательство:
Степенной ряд |
∑ |
сходится в точке |
→ |
сходится числовой ряд |
∑ |
|||||||||||
∞ |
|
|
|
∞ |
||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
Возьмем |
[− ; ] → | |≤ρ→ | | |
|
|
|
→ |
степенной ряд |
| | |
|
мажорируется |
|||||||
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|||||||||
на |
[− ; ] |
сходящимся числовым рядом |
→ |
по признаку Вейерштрасса о равномерной |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[− ; ]. |
|
|
|
|||
сходимости степенного ряда, равномерно сходится на |
|
|
|
|
||||||||||||
Следствия:
1) Т.к члены степенного ряда являются непрерывными функциями, то внутри интервала сходимости сумма ряда тоже будет тоже непрерывной функцией.
2)Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом [α, β] лежащем внутри интервала сходимости.
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости, т.к интервал сходимости ряда из производных будет точно таким же.
50. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формуле Тейлора стремился к нулю при n стремящимся к нулю.
51. Ряд Маклорена для некоторых элементарных функций.
52. Приложения степенных рядов.