План скоростей

Определим скорость всех обозначенных точек механизма с помощью плана скоростей. Возьмем для удобства начальную длину l_AO1 на плане скоростей равную 80 мм. Вычисляем скорость точки А звена 1 при заданном положении механизма:

Скорость точки 𝐴 кривошипа определим по формуле:

𝑉_𝐴 = 𝜔₁ ∙ 𝑂₁𝐴 = 2 ∙ 0,16 = 0,32 м/с

Выбираем масштаб плана скоростей 𝜇_𝑉

𝑝_𝑉𝑎 = 80 мм.

= 0,004 ^м/𝑐, исходя из этого

мм

Вектор скорости точки A перпендикулярен к звену O₁А. Из Произвольно выбранного полюса проводим луч , изображающий в выбранном масштабе скорость точки А.

Для определения скорости точки B, рассмотрим движение этой точки относительно точек, скорости которых нам известны (точка A и неподвижная стойка O₂).

Скорость неподвижной точки V_О2 = 0, на плане скоростей точка О₂ находится в полюсе p_v. Составим систему уравнений, описывающих движение точки B:

Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку BA, а вектор

скорости направлен перпендикулярно отрезку BO₂. Проводим луч pb из полюса вдоль направления . Из точки А вдоль проводим луч ab. На получившемся пересечении ставим точку b

ab=4,1 мм

p_vb = 77,21 мм

Тогда:

V_B = p_vb ∙ 𝜇_𝑣= 77,21 ∙ 0.004 = 0,31 м^⁄с

V_B/A = ab ∙ 𝜇_𝑣 = 4,1 ∙ 0.004 = 0,02 м^⁄с

Угловая скорость второго звена:

Угловая скорость третьего звена:

Для определения скорости точки С, принадлежащей звену СB, составим систему уравнений

В точке О₃ наблюдается полюс, тогда . Проводим луч bc,

перпендикулярный отрезку BC и луч p_vc перпендикулярный отрезку CO₂ (рис.2). На пересечении p_vc и bc ставим точку c.

Определяем длины p_vc, bc:

p_vc = 71 мм

bc= 34мм

Тогда найдем линейные и угловые скорости:

V_C = p_vc 𝜇_𝑣= 78.125 0.004 = 0.3125 м^⁄с

V_C/B = cb 𝜇_𝑣= 34 0.004 = 0.136 м^⁄с

Скорость точки E выражается системой уравнений:

В точке О₃ наблюдается полюс, тогда . Луч p_ve перпендикулярен отрезку О₃E, а луч ce перпендикулярен отрезку EC (рис.2). На пересечении p_ve и ce ставим точку E.

p_ve =78.12 мм

ce =8.96 мм

Находим линейные скорости:

V_E = p_ve ∙ 𝜇_𝑣= 78.12 ∙ 0.004 = 0.31 м^⁄с

V_C/E = ce ∙ 𝜇_𝑣= 8.96∙ 0.004 = 0.035 м^⁄с

Для определения скорости точки D, принадлежащей звену E , составим пропорцию, выражающую равенство отношений длин отрезков:

Точка d будет сонаправлена с точкой b, относительно О₃, значит скорость точки d будет направлена в сторону 𝑝_𝑣e (рис.2). И скорость V_d будет равна:

Точка К принадлежит звену 6, совершающему плоское движение, и

ползуну 7, движущемуся поступательно в горизонтальном направлении. Для определения скоростей в т. К необходимо составить следующую систему уравнений:

Отсюда , вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку DK, а вектор скорости направлен параллельно движению ползуна относительно неподвижной стойки (точка K1).

p_vk=37.47 мм

dk=23.37 мм

V_D/K = dk ∙ 𝜇_𝑣= 23.37∙ 0.004 = 0.1 м^⁄с

V_K = p_vk ∙ 𝜇_𝑣=37.47 ∙ 0.004 = 0.15 м^⁄с

Тогда угловая скорость шестого звена равна:

План скоростей. Рис. 3

Построение плана ускорений

Определяем ускорение точки А звена О₁А при помощи теоремы об ускорениях точек плоской фигуры:

𝐴𝑂

Ускорение точки 𝑎_𝑂1 =0 (т.к. т О₁ неподвижна). Т.к. звено О₁А вращается равномерно (ω₁=const), следовательно ускорение 𝑎^𝑡 будет равно 0. В этом

1

случае имеем:

Вектор нормального ускорения 𝑎^𝑛 направлен параллельно О₁А от точки

𝐴𝑂

1

А к центу О₁

Строим план ускорений. Выбираем масштаб плана ускорений μ = 0,008 ^м .

_с2

Из произвольно выбранного полюса p проводим луч pa, изображающий в выбранном масштабе ускорение точки A (рис. 3)

Для определения ускорения точки B, рассмотрим движение этой точки относительно точек, ускорения которых нам известны (точка A и О₂, на плане ускорений точка О₂ находится в полюсе p_a).

Составим систему уравнений, описывающих движение точки B:

Вектор 𝑎^𝑛 нормального ускорения точки B, возникающий при рассмотрении движения относительно точки A, направлен параллельно AB от точки B к точке A. Величина этого ускорения равна:

На плане ускорений из точки a провести отрезок abn, показывающий направление и величину нормального ускорения точки B относительно точки A. Длина отрезка aⁿ_A/B с учетом масштабного коэффициента:

𝐵𝐴

Вектор 𝑎^𝑡 тангенциального ускорения точки B в ее движении относительно точки A направлен перпендикулярно к звену AB.

Вектор 𝑎^𝑛 нормального ускорения точки B, возникающий при

𝐵𝑂

2

рассмотрении движения относительно точки O₂, направлен параллельно O₂B от

точки B к точке O₂. Величина этого ускорения длина отрезка pnb/0₂ равна:

𝐵𝑂

Вектор 𝑎^𝑡 тангенциального ускорения точки B в ее движении

2

относительно точки O₂ направлен перпендикулярно к звену O₂B.

Для определения точки b’ из точки p провести луч pn₂

перпендикулярный звену AB. Из полюса p_a проводим луч p, показывающий

направление нормального ускорения 𝑎^𝑛 .

𝐵𝑂

2

Из этой точки чертим перпендикулярную ей прямую atb/o₂. На пересечении

Ранее найденный лучей ставим точку b (рис.3).

Тогда зная все длины найдем тангенциальное ускорение и равные произведению масштабного коэффициента на длинны лучей, соответственно и полные ускорения

𝐵𝐴

𝑎^𝑡 = 52.6∙ 0.008=0.42 м/c²

𝑎^𝑡 = atb/o₂ ∙ μ_a = 45.6 ∙ 0.008=0.36м/c²

𝐵𝑂

2

𝑎_𝐵 =ab ∙ μ_a = 65.9 ∙ 0.008=0.53 м/c²

𝑎_𝐴/𝐵 = aa/b ∙ μ_a = 53.1∙ 0.008=0.43 м/c²

Определим угловые ускорения звеньев 2 и 3:

.

Составим систему уравнений скоростей для точки C:

. Нормальное ускорение и равны:

Тогда длины отрезков anc/b и anc/o₂:

Тангенциальные ускорения и будут исходить из точек и

перпендикулярно и : и на пересечении образуют точку C (рис.3).

Теперь зная длины, найдем тангенциальные и полные ускорения:

= ∙ μa = 21.25 ∙ 0.008 = 0.17 м/с²

= ∙ μa= 45.99∙ 0.008= 0.37 м/с²

𝑎 _C = ac ∙ μ_a = 66.1 ∙ 0.008 = 0.53 м/с²

Угловые ускорения для звена 3 будет равно:

Для точки Е:

В точке наблюдается полюс, поэтому . Нормальные ускорения и направлены вдоль и к точкам и соответственно, и равны:

Тогда длины отрезков и :

Тангенциальное ускорение и будут исходить из точек и перпендикулярно и : и на пересечении образуют точку e (рис.3).

Теперь зная длины, найдём тангенциальные и полные ускорения:

Угловые ускорения для звеньев 4 и 5 будут равны

Для определения ускорения точки D, принадлежащей звену EO₃ , составим пропорцию, выражающую равенство отношений длин отрезков:

Точка d на плане ускорений находится на линии действия ускорения 𝑎_e с той же стороны полюса p_a. Зная длину отрезка ad и, пользуясь масштабным коэффициентом плана ускорений, находим:

𝑎_D = ad ∙ μ_a = ∙ 0.008 = 0.26 м/c²

Для того, чтобы определить ускорение точки К, необходимо рассмотреть

движение относительно точек D и K1. Составим систему уравнений: K1 неподвижно, то Релятивное ускорение в свою очередь находим из плана скоростей, оно будет параллельно движению ползуна, точка пересечения релятивного и тангенциального ускорения и есть искомое значение полного ускорения K и релятивного т.к. ввиду отсутствия ускорения Кориолиса остается только составляющая релятивного ускорения

Из плана ускорений находим:

= ak ∙ μ_a = 31,5 ∙ 0.008 = 0,25 м/c²

Ускорение точки М, располагающей на звене AB

Из условия AM:MB = 4:1, поэтому

,

тогда