книги2 / 441

нам потребуется понятие ёмкости. Определим для компакта K Rn ёмкость Cq(K), которая при 1 < q < n определяется равенством

n > 2, p n. Предполагается выполнение следующего условия: для произвольной точки x0 F при r r0(D) справедливо неравенство

в котором положительная постоянная c0 не зависит от x0 и r. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если выполнены условия (2) и (3), то задача Зарембы (1) однозначно разрешима в W21(D, F ) и для ее решения справедлива оценка

u L2(D) C f L2(D)

спостоянной C, зависящей только от коэффициентов оператора L, области D и размерности пространства.

Сформулируем теперь второе утверждение.

Теорема 2. Если n = 2, выполнены условия (2), (3) и f

2

L2+δ0 (D) , где δ0 > 0, то существуют положительные постоян-

ные δ(p, δ0) < δ0 и C такие, что для решения задачи (1) справедлива оценка

ZZ

DD

где C зависит только от δ0, величины c0 из (3), а также от области D и b Lp(D).

n

Если n > 2, выполнены условия (2), (3) и f L2+δ0 (D) , где

δ0 > 0, то существуют положительные постоянные δ(n, p, δ0) < δ0 и C такие, что для решения задачи (1) справедлива оценка (4), где C дополнительно зависит от размерности пространства n.

Аналогичные результаты для линейного уравнения без сноса см. в [1] и [2], резултаты для p-лапласиана см. в [3]. А результаты в области с малыми отверстиями см. в [4].

41

Литература

1.Alkhutov Yu.A. On the Boyarsky–Meyers Estimate of a Solution to the Zaremba Problem / Yu.A. Alkhutov, G.A. Chechkin, V.G. Maz’ya // Arch Rational Mech Anal. — 2022. — V. 245, № 2. — P. 1197– 1211.

2.Чечкин Г.А. Оценка Боярского–Мейерса для дивергентных эллиптических уравнений второго порядка. Два пространственных примера / Г.А. Чечкин, Т.П. Чечкина // Проблемы математического анализа. — 2022. — Т. 119. — С. 107–116.

3.Алхутов Ю.А. Многомерная задача Зарембы для уравнения p(·)-Лапласа. Оценка Боярского-Мейерса / Ю.А. Алхутов, Г.А. Чечкин // Теоретическая и математическая физика. — 2024. — Т. 218,

№1. — С. 3–22.

4.Chechkin G.A. The Meyers Estimates for Domains Perforated Along the Boundary // Mathematics. — 2021. — V. 9, № 23. — Art.No 3015.

ОБ УРАВНЕНИИ y′′(x) + p(x)f(y(x))g(y′(x)) = 0, КАК ОБ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА В ВАРИАЦИОННОМ

ИСЧИСЛЕНИИ.

Н.Д. Арахов, В.Л. Прядиев (Воронеж, ВГУ)

Рассмотрим обратную задачу вариационного исчисления для дифференциального уравнения

а точнее, об отыскании функции (интегрирующего множителя) µ = µ(x, y, y′) такой, что дифференциальное уравнение

µ(x, y, y′)y′′ + µ(x, y, y′)p(x)f(y)g(y′) = 0

будет являться уравнением Эйлера для интегрального функционала вида

b

Z

I(y) = F (x, y(x), y′(x))dx.

a

От p, f и g потребуем непрерывности на [a; b], R и R, соответсвенно.

© Арахов Н.Д., Прядиев В.Л., 2024

42

Теорема Если p = const, то интегрируюший множитель для уравнения (1) существует и может быть дан формулой:

С привлечением общих фактов теории вариационных производных (см., например, в [1] раздел I.3) получается, следующее утверждение.

Утверждение. Если p, f и g дважды дифференцируемы, то интегрирующий множитель для уравнения (1) существует и является решением дифференциального уравнения

µx − p(x)f(y)g(y′)µy′ + y′µy = p(x)f(y)g′(y′)µ.

Вопрос о возможности снизить требования к гладкости p, f и g в этом утверждении остаётся для нас пока открытым. Уравнение вида

(1) изучалось в работах [2] и [3].

Литература

1.Задорожний В. Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. — М.-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. — 316 с.

2.Bihari I. Note to an extension of a Sturmain comparison theorem / I. Bihari // Stud. sci. math. hung, 1985. — 15-19 с.

3.Прядиев В.Л. Свойства Штурма нелинейных уравнений на сетях / В.Л. Прядиев // Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1995. — 15 с.

УСЛОВИЯ 2-ГО ПОРЯДКА ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Н.Ю. Аскерова, Э.М. Галеев

(Баку, филиал МГУ, Москва, МГУ) narmina2000@gmail.com, galeevem@mail.ru

© Аскерова Н.Ю., Галеев Э.М., 2024

43

Работа посвящена вопросам о необходимых и достаточных условиях экстремума в задаче вариационного исчисления с одним закрепленным концом. В данной работе формулируются и доказывются теоремы о необходимых условиях слабого экстремума и достаточных условиях сильного экстремума. В частности, рассматривается случай квадратичного функционала.

Рассмотрим задачу вариационного исчисления с одним закрепленным концом

Теорема 1. Необходимые условия первого порядка. Пусть xb

C1([t0; t1]) доставляет слабый локальный минимум в задаче (P ), L, Lx, Lx˙ непрерывны в некоторой окрестности расширенного гра-

фика Γ ˙ . Тогда выполнены следующие условия:

xbxb

a) уравнение Эйлера: −dtd Lbx˙ + Lbx = 0;

b) условие трансверсальности: Lbx˙ (t1) = 0.

Теорема 2. Необходимые условия слабого экстремума. Пусть функция xb C2([t0; t1], R) доставляет слабый локальный минимум в задаче (P ) (x wlocmin P ), интегрант L трижды непрерывно

c) если выполнено усиленное условие Лежандра, то выполняется условие Якоби;

d) если выполнено усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби, то для любых h0, h1 R существует единственное решение уравнения Якоби такое, что h(t0) = h0, h(t1) = h1 и выпол-

где h(t) — это решение уравнения Якоби с граничными условиями h(t0) = 0, h(t1) = h1.

44

на xb выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, выполня-

ется условие P (h) = h1 Lbx˙x˙ h(t1) + Lbxx˙ h(t1) > 0 h1 R, где h(t) — это решение уравнения Якоби с граничными условиями

h(t0) = 0, h(t1) = h1, интегрант L является выпуклым по x˙ на

V . Тогда xb strlocmin P.

Рассмотрим задачу с одним закрепленным концом с квадратичным функционалом

t1

Z

J(x(·)) = (Ax˙2 + 2Bxx˙ + Cx2)dt → min; x(t0) = x0. (P )

t0

Теорема 4. О квадратичном функционале в задаче с одним закрепленным концом. A, B C1[t0, t1], C C[t0, t1], выполнено усиленное условие Лежандра на минимум. Тогда

a) если допустимая экстремаль xb существует, выполнено уси-

ленное условие Якоби, P (h) = h1(Ah˙ (t1) + Bh(t1)) 0 h1 R, где h(t) — это решение уравнения Якоби такое, что h(t0) = 0, h(t1) =

h1, то xb absmin P

b) если не выполнено условие Якоби или выполнено усиленное

условие Якоби, но не выполняется P (h) 0, то Sabsmin = −∞. Если при этом существует допустимая экстремаль xb, то xb ̸

wlocmin P .

Литература

1.Алексеев В.М. Сборник задач по оптимизации / В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. — М. Наука, 1984. — 288 с.

2.Галеев Э.М. Методы оптимизации / Э.М. Галеев — Баку, 2016. — 200 с.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ СУММЫ

АРГУМЕНТОВ1

С.Н. Асхабов (Грозный, ЧГПУ, ЧГУ; Долгопрудный, МФТИ) askhabov@yandex.ru

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 22-11-00177). © Асхабов С.Н., 2024

45

В вещественных пространствах Лебега Lp(0, 1), 1 < p < ∞, с обычной нормой · p, рассматриваются три различных класса нелинейных интегральных уравнений с ядром, зависящим от суммы аргументов:

где K(x, t) = b(x) · b(t), b(x) ̸= 0, λ > 0 и 0 < ν < 1. Предполагается, что функция F (x, t), порождающая нелиней-

ность в указанных уравнениях, определена при x [0, 1], t R и удовлетворяет условиям Каратеодори: она измерима по x при каждом фиксированном t R и непрерывна по t почти для всех x [0, 1]. В зависимости от рассматриваемого класса уравнений, будем предполагать, что нелинейность F (x, t) для почти всех x [0, 1] и всех t R удовлетворяет либо условиям:

1)|F (x, t)| c(x) + d1|t|p−1, где c(x) L+p′(0, 1), d1 > 0;

2)F (x, t1) F (x, t2), если t1 < t2;

3)F (x, t) · t d2|t|p − D(x), где d2 > 0, D(x) L+1 (0, 1), либо условиям:

4)|F (x, t)| g(x) + d3|t|1/(p−1), где g(x) L+p (0, 1), d3 > 0;

5)F (x, t1) < F (x, t2), если t1 < t2;

6)F (x, t) · t d4|t|p/(p−1) − D(x), где d4 > 0, D(x) L+1 (0, 1), где p′ = p/(p − 1) и L+p (0, 1) означает множество всех неотрицатель-

ных функций из Lp(0, 1).

Пусть X есть банахово пространство и X – сопряженное с ним пространство. Обозначим через y, x значение линейного непрерывного функционала y X на элементе x X.

Лемма 1. Пусть p 2, 0 < ν < 1 и b L2p/(p−2)(0, 1) (b L∞(0, 1), если p = 2). Тогда оператор

46

действует непрерывно из Lp(0, 1) в Lp′(0, 1) и строго положителен, причем

Используя лемму 1, методом монотонных (по Браудеру-Минти) операторов доказываются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям 1)–3), то при любом f Lp′(0, 1) уравнение (1) имеет единственное решение в Lp(0, 1).

Теорема 2. Пусть 1 < p 2, 0 < ν < 1, K(x, t) = b(x) · b(t)

и b L2p/(2−p)(0, 1) (b L∞(0, 1) при p = 2). Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям 1) и 2), то при любом f Lp(0, 1)

уравнение (2) имеет единственное решение в Lp(0, 1).

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 1. Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет условиям 4)–6), то при любом f Lp(0, 1) уравнение (3) имеет единственное решение в Lp(0, 1).

Следуя работе [1], при дополнительных ограничениях на нелинейность F (x, t) в теоремах 1–3 можно получить оценки норм соответствующих решений, а при p = 2 и любом значении параметра λ > 0 можно показать, что эти решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и получить оценки скорости их сходимости. Заметим также, что используя результаты работ [2] и [3], теоремы 1–3 можно обобщить на случай пространств Лебега с общим (не обязательно степенным) весом.

Литература

1.Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки в пространствах Лебега / С.Н. Асхабов // Матем. заметки — 2015. — Т. 97,

№5. — C. 643–654.

2.Porter D., Stirling D. Integral equations. A practical treatment, from spectral theory to applications / D. Porter, D. Stirling — Cambridge : Cambr. Univ. Press, 1990. — 382 p.

3.Askhabov S.N. Nonlinear singular integral equations in Lebesgue spaces / S.N. Askhabov // Journal of Mathematical Sciences — 2011. — V. 173, № 2. — P. 155–171.

47

ОБ ОРБИТАХ 7-МЕРНЫХ АЛГЕБР ЛИ,

СОДЕРЖАЩИХ 3-МЕРНЫЙ АБЕЛЕВ ИДЕАЛ1 А.В. Атанов, А.В. Лобода (Воронеж, ВГУ) atanov.cs@gmail.com, lobvgasu@yandex.ru

В сообщении практически завершается изучение невырожденных вещественных голоморфно однородных гиперповерхностей пространства C4, на которых транзитивно действуют 7-мерные алгебры Ли из списка [1]. Весьма редкими в этом пространстве оказываются не сводимые к трубкам невырожденные орбиты 7-мерных алгебр, содержащих абелевы идеалы размерности 4 и выше (см. [2,3]). Оставшиеся пять типов алгебр Ли из [1], а именно [7, [6, 12], 1, 1] и [7, [6, 16], 1, j] (j = 1, . . . , 4), содержат лишь 3-мерные абелевы идеалы.

Теорема 1. У семейства алгебр [7, [6, 12], 1, 1] имеется один тип невырожденных орбит, у семейства [7, [6, 16], 1, 1] — 4 типа невырожденных орбит, у семейства [7, [6, 16], 1, 3] — 2 типа невырожденных орбит.

Выпишем далее орбиты (являющиеся невырожденными при «общем положении» параметров) шести последних типов:

Здесь A, B, C, K, L — некоторые вещественные константы. Приведенные уравнения (1)–(3) получены интегрированием голо-

морфных реализаций в пространстве C4 абстрактных 7-мерных алгебр Ли, упомянутых в теореме 1. Для базисов семейства алгебр Ли [7, [6, 12], 1, 1] такая реализация имеет (с точностью до голоморфных

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 23-21-00109). © Атанов А.В., Лобода А.В., 2024

48

В ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ

Е.А. Бадерко, К.Д. Федоров

(Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики) baderko.ea@yandex.ru, konstantin-dubna@mail.ru

полагается, что коэффициенты aijl определены и ограничены в D и

|∆x,taijl(x, t)| ω0(|∆x| + |∆t|1/2) в D, где ω0 – модуль непрерывности, удовлетворяющий двойному условию Дини:

zy

ZZ

Для первой начально-краевой задачи:

t=0 Σ

доказывается, что если функция f непрерывна, ограничена в D и |∆xf(x, t)| ω(|∆x|) в D, где ω – модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини:

z

Z

ωe(z) = ω(ξ)ξ−1dξ < +∞, z > 0,

0

функция h непрерывна и ограничена вместе со своими первой и второй производными, ψ C1[0, T ] и выполнены условия согласования:

© Бадерко Е.А., Федоров К.Д., 2024

50