книги2 / 441

Литература

1.M. Frigon, On continuation methods for contractive and nonexpansive mappings / M. Frigon — Recent Advances on Metric Fixed Point Theory (Sevilla, 1995), Univ. of Sevilla, 19–30.

2.Brailey Sims, The homotopic invariance for fixed points of setvalued nonexpansive mappings / Brailey Sims, Hong-Kun Xu, George Xian-Zhi Yuan // Josai mathematical monographs —1999 — vol. 1, 55–65

3.Michael Edelstein, The construction of an asymptotic center with a fixed-point property / Michael Edelstein. — Bull.Amer. Math. Soc.

—1972 — vol. 78, 206–208

ОПЕРАТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАКСА

В ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЕ В.А. Кыров (Горно-Алтайск, ГАГУ)

KyrovVA@yandex.ru

Как известно, в теории солитонов возникает операторное уравнение Лакса, которое принимает следующий вид [1,2]:

Нелинейное уравнение (1) является условием совместности системы линейных уравнений:

Lφ = µφ, φt = −Aφ,

где L и A — операторы, φ — собственная функция, а µ — собственное значение, причем

L = a∂/∂x + U, A = b∂/∂x + V,

a = (aij), b = (bij), i, j = 1, 2, 3 — постоянные матрицы, U = (uij), V = (vij), i, j = 1, 2, 3 — матрицы дифференцируемых функ-

ций. Далее матрица b берётся в жордановом виде. Из уравнения Лакса (1) следует

Lt = Ut = [a, b]∂2/∂x2 + ([U, b] + [V, a])∂/∂x + [U, V ] + aVx − bUx.

Сравнивая коэффициенты перед оператором дифференцирования, получаем

© Кыров В.А., 2024

141

Так как матрица b жорданова, то первый коммутатор в (2) даёт су-

причем λ1 ̸= λ2, λ1 ̸= λ3, λ2 ̸= λ3, β ̸= 0.

Далее в (2) рассматриваются дополнительные условия

[U, b] = 0, [U, V ] = 0.

Эти дополнительные условия позаволяют свести третье равенство из

(2) к эквивалентным нелинейным уравнениям.

Литература

1.Захаров В.Е. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. — М. : Наука, 1980. — 319 с.

2.Яновская О.С. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка / О.С. Яновская, О.Б. Сурнёва // Наука. Инновации. Технологии. — 2018. — № 3. —

С.37–52.

142

ОПРОБЛЕМЕ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

ВМЕТОДЕ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ

ОРАССЕЯНИИ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ЖЕСТКИМ

ТЕЛОМ Д.Р. Лепетков (Тула, ТулГУ)

shipsdays@gmail.com

На абсолютно жесткое тело D R3 падает плоская звуковая волна с потенциалом Ψi(x) = eikxd. Требуется найти акустический потенциал Ψs(x) рассеянной волны (см. [1–4]). Аналитическое решение данной задачи известно в исключительных случаях, например, для шара. В случае произвольного тела применяются численные методы. Популярен подход на основе метода граничных элементов (МГЭ). В этом случае для суммарного потенциала Ψ = Ψi + Ψs с учетом условия жесткости ∂nΨ|S = 0 имеем [3, 4]

где S = ∂D, nx — внешняя нормаль к S, G — функция Грина пространства, C(x) = 1/2 для точек гладкости S.

В МГЭ решается граничное интегральное уравнение CBIE = 0 для x S [4], затем оно подставляется в интеграл для расчета Ψ(x) при x Dc. Применение МГЭ сопряжено с проблемой неединственности решения ГИУ, когда численный метод становится неустойчивым. В [3] показано, что если квадрат волнового числа k2 является собственным значением внутренней задачи Дирихле в D, то решение будет неединственным. Чтобы оно стало единственным нужно одновременного выполнения условия Неймана ∂nΨ|S = 0. В [3] доказано, что достаточно решать смешанное интегральное уравнение CBIE + (i/k)HBIE = 0, где уравнение HBIE получается дифференцированием CBIE. Интеграл в CBIE сингулярный, а в HBIE — гиперсингулярный. Применяются разные методы регуляризации [4].

Предлагается новый метод регуляризации HBIE на основе вычитания среднего значения потенциала в окрестности точки сингулярности, который удобно применять для тела D, заданного неструктурированной полигональной сеткой.

© Лепетков Д.Р., 2024

143

Проблема неединственности наглядно видна на примере шара B3. Хорошо известное аналитическое решение можно записать в виде

l

сферические функции Бесселя и Ганкеля. Для вывода этого разло-

жения из CBIE использовались сферические разложения для Ψi и G. В ходе выкладок с использованием вронскиана функций Бесселя

устанавливается, что jl(k)Bl(k) = iγlj′l(k) . Отсюда следует, что если

k2hl(k)

k — корень функции Бесселя или, эквивалентно, k2 — собственное значение внутренней задачи Дирихле для шара, то решение неединственно. Такие значения распределены достаточно плотно и при близости к ним численный метод без учета условия Неймана начинает ошибаться. При разработке численного метода следует учитывать этот факт.

Литература

1.Авдеев И.С. Рассеяние звука телами неканонической формы / Авдеев И.С. // Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. — Тула : Изд-во ТулГУ, 2011.

2.Скобельцын С.А. Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах / Скобельцын С.А. // Дисс. . . . докт. физ.-мат. наук. — Тула : Изд-во ТулГУ, 2020.

3.Burton A.J. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems / Burton A.J., Miller G.F. // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1971. — V. 323, no. 1553. — P. 201–210.

4.Simpson R.N. Acoustic isogeometric boundary element analysis / Simpson R.N., Scott M.A., Taus M., Thomas D.C., Lian H. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2014. — V. 269. — P. 265–290.

ОТБОР СОДЕРЖАНИЯ ЗАНЯТИЙ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Н.И. Лобанова, Н.Н. Яремко

(Зеленокумск, Центр внешкольной работы;

144

Москва, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»)

lobantchik@yandex.ru, yaremki@yandex.ru

Вработе рассматривается методика преподавания дифференциальных уравнений (ДУ) в системе дополнительного образования (ДО). Дифференциальные уравнения выступают в качестве основного инструментария формирования целостной картины (ЦКМ) мира старшеклассника. Сделан отбор содержания занятий по изучению элементов теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования с использованием метода математического моделирования, целью которого является способность и готовность старшеклассников к применению изученного материала и полученных практических умений и навыков в квазипрофессиональной, а затем и в профессиональной деятельности [ 1, с. 1]. В качестве составляющих процесса обучения старшеклассников в системе дополнительного образования принимаем: опыт усвоения знаний, в результате которого приобретаются новые знания, опыт практической деятельности, в результате повышается мастерство в применении знаний, опыт творческой и исследовательской деятельности, что ведет

ксамостоятельности мышления и развитию творческих качеств личности, формированию целостной картины мира.

Взаимосвязь обязательного обучения математике в общеобразовательной школе и математических занятий в рамках дополнительного образования выступает как средство реализации дидактических принципов непрерывности, преемственности, системности и способствует целостности знаний выпускников и их подготовке к выбору профессии. С целью обучения старшеклассников в системе дополнительного образования решению задач с помощью дифференциальных уравнений необходимо использовать практикоориентированный подход, который позволяет значительно повысить эффективность обучения [ 1, с. 1], [ 2].

Вотечественной научно-педагогической литературе термин «практико-ориентированное обучение» трактуется неоднозначно. Если речь идет о школьном образовании, то это понятие означает «обучение, ориентированное на применение математики в повседневной жизни и формирование у старшеклассников понимания базовой роли математики» [ 3] при этом математическое моделирование признается в качестве ведущего средства описания и разрешения

©Лобанова Н.И., Яремко Н.Н., 2024

145

реальных жизненных ситуаций. Определение понятия «практикоориентированное обучение математике в школе» дано в работе М.В. Егуповой как «специально организованный познавательный процесс, направленный на формирование у старшеклассников представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные объекты, а также на развитие умений применять изученные математические понятия, результаты, методы для исследования простейших объектов действительности, решения практико-ориентированных задач» [ 4], [ 5],[ 6, с. 64].

Изучение дифференциальных уравнений с целью формирования ЦКМ старшеклассника направлено на познание законов природы, которые выражены на математическом языке дифференциальных уравнений, при этом абстрактность математических понятий и методов должна быть воспринята старшеклассниками как основа для системного изучения реального мира и его закономерностей. Изучение ДУ обуславливается потребностями мировосприятия старшеклассника, демонстрацией универсальности и применимости математических принципов ко всем классам явлений [ 7].

Для успешного изучения старшеклассниками элементов теории дифференциальных уравнений и применения их к решению практикоориентированных задач необходимо опираться на имеющиеся у старшеклассников знания и на их субъектный опыт, поэтому следует активизировать известные старшеклассникам сведения и способы деятельности [1, с. 2], [ 8].

Важно правильно выделить объем и содержание материала теории дифференциальных уравнений для изучения его старшеклассниками в системе дополнительного образования. При этом следует учитывать ряд требований. Перечислим их:

1.Не следует включать в программу весь тот материал, который старшеклассники будут изучать, поступив в вуз,

2.Отобранный материал должен обладать элементами новизны, чтобы мог заинтересовать старшеклассников,

3.Предлагаемый материал должен иметь практикоориентированный характер, показывать его востребованность в жизни,

4.Необходимо включение историко-математических сведений (историю открытий, символов, фрагменты из жизни математиков

идр.),

5.При соблюдении всех дидактических принципов особое внимание уделить развитию гуманитарной составляющей математического

146

образования (развитию мыслительных операций, способов рассуждений, творческих умений),

6. Использовать в полной мере активную деятельность самих старшеклассников (заслушивать сообщения, презентации и пр.), 7. Применять ITтехнологии в процессе обучения.

При этом задачами для педагога являются:

-формирование у старшеклассников понимание роли дифференциальных уравнений в решении разнообразных задач,

-обеспечение усвоения понятий фрагмента предлагаемой теории,

-обучение старшеклассников решению выделенных видов дифференциальных уравнений,

-показ применения дифференциальных уравнений к решению практико-ориентированных задач [ 1, с. 3], [ 2].

Перед началом занятий важно мотивировать старшеклассников на изучение предлагаемого материала. Это можно сделать с привлечением самих слушателей.

Информируя старшеклассников через выступления их соучеников (именно такие сообщения заинтересовывают старшеклассников в наибольшей степени) о значимости и широком распространении теории дифференциальных уравнений с целью повышения у старшеклассников мотивации к изучению предлагаемого материала, следует проиллюстрировать вышесказанное примером. Предлагаемая нами методика изучения дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования принципиально отличается от традиционной методики преподавания курса ДУ в высших учебных заведениях. Учитывая объём знаний, имеющийся у старшеклассников, включающий в себя знание геометрического и физического смысла производной, мы строим таким образом курс элементов теории ДУ в учреждениях ДО [ 7]. Вначале рассматриваем основные понятия ДУ, далее ДУ с разделением переменных, затем к решению ДУ с помощью средств компьютерной алгебры (среда MathCad) или интернетрешателей, потом переходим к решению задач на закон естественного роста и логистический закон (в качестве математической модели выступают ДУ 1- го порядка), закон колебаний (ДУ 2- го порядка), закон взаимодействия двух противоборствующих видов (системы ДУ). На протяжении всего обучения «красной линией» проходит главная идея курса: однотипный характер существенных связей между объектами окружающего мира ведет к изоморфизму реально функционирующих систем, и одно и то же дифференциальное уравнение, одна и та же математическая модель может описывать

147

целую группу различных, но изоморфных, процессов или явлений реального мира [ 8, с. 104]. Таким образом происходит формирование целостной картины мира (ЦКМ) старшеклассника. Проверка сформированности ЦКМ проходит вовремя всего обучения посредством анкетирования, тестирования, в конце — защита исследовательских проектов методом экспертной оценки. Приведенный объем материала теории дифференциальных уравнений при опоре на школьные знания:

-в полной мере позволяет сформировать у старшеклассников понимание роли ДУ при решении самых разнообразных, в том числе, востребованных практикой задач:

-обеспечивает усвоение первоначальных понятий теории,

-обладает определенной новизной для развития интереса старшеклассников,

-дает возможность обучить старшеклассников решению некоторых видов ДУ,

-рассмотреть применение ДУ при решении геометрических, физических, экономических и другого рода задач,

-сформировать ЦКМ.

Кратко проведём обзор отобранного материала.

Сначала старшеклассники знакомятся с общей теорией дифференциальных уравнений. По аналогии с теорией алгебраических уравнений, изучаемой ими в рамках школьного курса, старшеклассники под контролем педагога дают определение решения дифференциального уравнения. Те сведения, которые старшеклассники не могут получить по аналогии, им сообщает педагог. В итоге они приобретают знания об основных понятиях ДУ.

Изучение различных типов дифференциальных уравнений целесообразно начинать с уравнений с разделенными переменными, с такого вида простейшими уравнениями старшеклассники знакомятся в рамках учебной программы в общеобразовательной школе. Поскольку это не вновь узнаваемый материал, то не будем на нем останавливаться. Старшеклассникам необходимо предложить для решения определенное количество таких задач, чтобы старшеклассники вспомнили метод решения и приобрели необходимые навыки. Затем следует перейти к их обобщению — дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Чтобы получить уравнение с разделенными переменными, приходится умножать обе части уравнения на одно и то же выражение. С этим свойством старшеклассники знакомы, так как пользовались

148

им при решении алгебраических уравнений (квадратных, иррациональных дробно-рациональных, симметрических и др.).

Чтобы старшеклассники освоили рассмотренные методы решения уравнений, им предлагается совокупность задач, часть из которых решается непосредственно в аудитории, а другая часть предназначается для самостоятельной работы старшеклассников.

Изучение тех видов уравнений, которые мы выделили, не представляют затруднений для старшеклассников в системе дополнительного образования, тем более, что идут туда интересующиеся и неплохо владеющие математическим аппаратом. Включение выделенных тем несет элементы новизны, удовлетворяющие математические интересы старшеклассников, дает возможность познакомить старшеклассников с больших кругом практико-ориентированных задач, что способствует формированию целостной картины мира, а также и профориентации старшеклассников. Кроме того, изучение выделенных нами разделов теории дифференциальных уравнений позволяет закрепить в их сознании метод математического моделирования — один из основных в математике. Стремиться же к расширению отобранного нами фрагмента теории дифференциальных уравнений вряд ли целесообразно, так как поставит перед старшеклассниками дополнительные, ничем не оправданные трудности. С другими видами уравнений они познакомятся в высшей школе. Того, что они узнают здесь, вполне достаточно для расширения их кругозора, усвоения сути и значимости метода математического моделирования, роли дифференциальных уравнений в решении задач из разных областей науки и практики.

Литература

1.Лобанова Н.И. Элементы теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования / Н. И. Лобанова // Интернет-журнал «Мир науки» (серия Педагогика и психология). — 2016. — № 6. — Том 4. — С. 1–9.

2.Лобанова Н.И. Обучение методу моделирования средствами дифференциальных уравнений при решении геометрических задач в системе дополнительного образования школьников / Н. И. Лобанова,

Н.В. Аммосова // Современные проблемы науки и образования. — 2017. № 5. ;

3.Егупова М. В. Методическая система подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе : специальность 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)» : диссертация на соискание ученой

149

степени доктора педагогических наук / М. В. Егупова. // Москва — 2015. — 452 с.

4.Егупова М. В. Достижение метапредметных результатов в практико-ориентированном обучении геометрии / М. В. Егупова // Калуга: Центр дистанционного образования "Эйдос —2019. — 152 с.

5.Егупова М. В. Составление задач на практические приложения математики как средство развития речевой культуры студентовпедагогов / М. В. Егупова // Проблемы современного педагогического образования. —2017. № 55 (2). — С. 170–180.

6.Яремко Н.Н. Содержательная трансформация математической практико-ориентированной задачи в уровневом образовании. Практико-ориентированный подход в условиях трансформации образования: монография / Н. Н. Яремко, Н. Б. Тихонова, М. В. Глебова // под ред.Т. И. Шукшиной; Мордов. гос. пед. университет. Саранск, —2022. Глава IV, С. 62–78. Текст : электронный. ISBN 978- 58156-1545-8

7.Яремко Н.Н. Закон естественного роста как основа математического моделирования при формировании целостной картины мира школьника / Н. Н. Яремко, Н. И. Лобанова // «Актуальные проблемы методики обучения информатике и математике в современной школе», Москва, МПГУ, 24-28 апреля 2023 года.

8.Лобанова Н.И. К вопросу изучения дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования / Н. И. Лобанова // В сборнике: Математическое образование в школе и вузе: инновации в информационном пространстве (MATHEDU’ 2018) Материалы VIII Международной научно-практической конференции. Ответственный редактор Л.Р. Шакирова. Казань, —2018. — С. 102–108.

9.Семиохин И.А. Сборник задач по химической кинетике. /

И.А. Семиохин // Москва —2005. С. 89.

10.Александрова Е.Б. Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Под ред. Г.Г.Хамова./ Е. Б. Александрова, А. А. Атоян, И. Е. Водзинская, Е. Г. Копосова, Р. А. Мыркина, Т. А. Семенова, Л. Н. Тимофеева, Г. Г. Хамов, М. Ю. Чурилова // – СПб. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена —2009. — 353 с.

150