книги2 / 441

вещественной прямой R определено её симметричное относительно окружности ∂D(r) продолжение на D, обозначаемое далее как

Для субгармонической на открытом множестве O C функции u ̸≡ −∞её распределение масс Рисса определяется как борелевская мера ∆u := 21π u, где – оператор Лапласа, действующий в обобщённом смысле. Функция U называется δ-субгармонической на O, если она представима в виде разности U = u −v двух субгармонических u и v. Если в этом представлении u ̸≡ −∞и v ̸≡ −∞, то пишем U ̸≡ ±∞и для таких функций корректно определено распределение зарядов Рисса ∆U := ∆u − ∆v.

Теорема 1 (неравенство для распределений зарядов Рисса).

Пусть D ̸= — ограниченная область в C с кусочно-гладкой границей ∂D, симметричная относительно окружности ∂D(r). Если функция V : D \ D(r) → R дважды непрерывно дифференцируема в окрестности D \ D(r), обращается в нуль на ∂D \ D(r), положительна вместе с её оператором Лапласа, т.е. V 0 на D \ D(r) иV 0 в окрестности D \ D(r), то для любой δ-субгармонической в окрестности D функции U ̸≡ ±∞при U 0 на D имеем

где Vrad′ — производная по радиусу, а arg D ∩ ∂D(r) — аргументы множества дуг D ∩ ∂D(r) в полярной системе координат.

Ecли F — мероморфная функция в окрестности D с не более чем счётными распределениями всех её нулей и полюсов соответствен-

но Z = (zj)j=1,2,... и P = (pj)j=1,2,..., перенумерованными с учётом кратности, то U := ln |F | ̸≡ ±∞— функция δ-субгармоническая в

той же окрестности и неравенство (1) запишется в виде

Из теоремы 1 можно получить много различных неравенств для голоморфных, мероморфных, субгармонических и δ-субгармоничес- ких функций в самых разных областях при разнообразных выборах

281

функции V . Здесь для простоты остановимся лишь на функциях U, определённых на всей комплексной плоскости. Для борелевской меры ∆ 0 и распределения точек Z = (zj)j=1,2,... на C используем их считающие радиальные функции

точки z C кратность корня функции f в этой точке z не меньше числа вхождений этой точки z в распределение точек Z.

Следующая теорема существенно дополняет результаты из [3].

Теорема 3 (единственности). Пусть M – субгармоническая функция конечного типа при порядке ρ R+, т.е.

lim sup M(z) < +∞,

z→∞ |z|ρ

ограниченная снизу в некотором круге D(r0) радиуса r0 > 0, а распределение точек Z = (zj)j=1,2,... на C не содержит ноль. Если

то любая целая функция f, обращающаяся в нуль на Z с учётом кратности и удовлетворяющая неравенству ln |f| M на C, тождественно равна нулю.

Литература

1.Меньшикова Э.Б. Интегральные формулы типа Карлемана

иБ. Я. Левина для мероморфных и субгармонических функций / Э.Б. Меньшикова // Изв. вузов. Матем. — 2022. — № 6. — С. 37–53.

282

2.Хабибуллин Б.Н. Теорема единственности для субгармонических функций конечного порядка / Б.Н. Хабибуллин // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, № 6. — С. 811–827.

3.Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности / Б.Н. Хабибуллин. — 4-е изд., дополненное. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. — xvi+176 с. — ISBN: 978-5-7477-2992-6.

ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ РЯДОВ

В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Ю.Х. Хасанов (Душанбе, РТСУ) yukhas60@mail.ru

Рассматривается векторное пространство над полем вещественных чисел. Под топологическом векторным пространством понимается хаусдорфово топологическое векторное пространство. Топология в этой пространстве определяется базисом окрестностей нуля, который удовлетворяет аксиомам Фон Неймана. Исследуются критерии абсолютно p – сходимости числовых рядов в топологическом векторном пространстве. Доказывается, что множество всех абсолютно p – сходящихся (0 < p < ∞) рядов является векторным пространством. Также устанавливается, что если линейное пространство E метризуемо, то множество всех абсолютно p – сходящихся рядов в E также является метризуемой.

Пусть E – линейное пространство. Система τ – подмножеств множества E определяет в E топологию, если в этой системе τ содержится пустое множество Ø, множество E, объединение множеств любой своей подсистемы и пересечение множеств любой своей конечной подсистемы. Множество E с заданной в нем топологией τ будем называть топологическим пространством. Под топологическом векторном пространстве E будем понимать хаусдорфово топологическое векторное пространство, т.е. для каждой пары различных точек

x1, x2 E существуют открытые множества G1, G2(x1 G1, x2 G2), такие,что G1 ∩ G2 = Ø.

Топология в пространстве E определяется базисом окрестностей нуля E[0],такая,что

1.Для любого V E[0], существует U E[0], такое, что U+V V ;

2.Все V E[0] поглощающие и уравновешенные;

3.Если α E (α ̸= 0), то существует U E[0] c α U.

©Хасанов Ю.Х., 2024

283

Определение. В топогическом векторном пространстве E ряд

∞

P αk называется абсолютно p – сходящимся (0 < p < ∞), если для

k=0

любого A E[0] ряд

∞

X

(PA(αk))p < ∞,

k=0

где PA(αk) – функционал Минковского. Под выпуклым телом будем понимать множество A, ядро которое не пусто, т.е. если x, y A, то соединяющий их отрезок также содержится в A.

В этой работе рассмотрим критерии абсолютной p – сходимости рядов вида

k=0

в топологическом векторном пространстве E. Заметим, что ранее, аналогичные вопросы в пространстве Lp рассмотрены в работах С. Б. Стечкина [1], М.Ф.Тимана [2].

Теорема 1. Для того, чтобы ряд (1) был абсолютно p – сходящимся в E, необходимо и достаточно, чтобы для каждой A E[0] существовала числовая последовательность γk ℓp такая, что

αk A для каждой k = 0, 1, 2, 3, ...

Теорема 2. Множество всех абсолютно p – сходящихся рядов (0 < p < ∞) является векторным пространством.

Теорема 3. Пространство ℓp(E) является топологическим векторным пространством с базисом окрестностей нуля

ℓp(E[0]) = {Uaup : u E[0]},

где a – положительное рациональное число.

Теорема 4. Если E метризуемое топологиское векторное пространство, то множество всех абсолютно p – сходящихся рядов в

Eℓp(E) (0 < p < ∞), также является метризуемой.

Литература

1.Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов / С.Б. Стечкин // Мат.сб. — 1951. — T. 29, № 1. — C. 225–232.

2.Тиман М.Ф.Об абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье / М.Ф. Тиман // Сообщ. АН Груз. ССР. — 1961. — Т. 26,

№6. — С. 641–646.

284

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ГРИНА К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

С НЕЧЕТКОЗНАЧНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ В.Л. Хацкевич (Воронеж,

ВУНЦ ВВС ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина) vlkhats@mail.ru

Влитературе рассматриваются различные определения дифференцируемости нечеткозначных функций. В настоящей работе применяется «классическое» определение производной по Хукухаре [1] и связанной с ним производной по Сеиккала [2] (коротко S- производной).

Обычно [3] при решении линейных нечетких дифференциальных уравнений выписывают уравнение (или систему уравнений) для соответствующих α-индексов и решают ее. Затем проверяют, определяют ли производные полученных α-индексов производную нечеткозначной функции. Как показывают примеры [3, 4], это не всегда так.

Впоследние годы широкое распространение для решения линейных нечетких дифференциальных уравнений высокого порядка получил метод нечеткого преобразования Лапласа [5, 6]. Однако он не представляет возможности предварительно определить, будут ли полученные функции гладкими и, соответственно, решениями.

Вотличие от известных подходов, предлагаемый в данной работе опирается на развитие метода функции Грина, широко распространенного в теории обыкновенных дифференциальных уравнений [7, гл. 1, 2], на случай дифференциальных уравнений с нечеткозначной правой частью. Метод функций Грина полезен тем, что он дает формулы для α-индексов нечетких решений. А это позволяет привести условия, при которых производные α-индексов определяют S- производную нечеткозначного решения. В данной работе – это условие на положительность соответствующих коэффициентов динамической системы, неотрицательность соответствующей функции Грина, а также S — дифференцируемость неоднородности. Эти условия естественны для ряда прикладных задач.

Ниже используется интервальное представление нечетких чисел [8, гл. 5]. А именно, нечеткому числу z˜ ставятся в соответствие его α- индексы, то есть функции z±(α) = zα± (α [0, 1]), удовлетворяющее

©Хацкевич В.Л., 2024

285

условиям: 1) z−(α) z+(α) α [0, 1]; 2) функция z−(α) ограничена, неубывает, непрерывна слева на промежутке (0, 1] и непрерывна справа в точке 0; 3) функция z+(α) ограничена, невозрастает, непрерывна слева на промежутке (0, 1] и непрерывна справа в точке 0.

Непрерывность и ограниченность нечеткозначных функций z˜(t) ниже понимается по метрике Хаусдорфа на множестве нечетких чисел [8, гл. 5].

Рассмотрим задачу об ограниченных решениях для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и нечеткозначной правой частью при t (−∞, ∞)

Здесь f˜(t) — нечеткозначная функция, коэффициенты ai (i = 0, ..., n) — вещественные числа, производные от нечеткозначной функции z˜(t) понимаются как S-производные.

Наряду с (1) рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами при t (−∞, ∞)

где f(t) — вещественнозначная функция.

Функцию G(t) называют функцией Грина задачи об ограниченных решениях уравнения (2), если она удовлетворяет следующим условиям (см., напр., [7, гл. 1, §4]): 1) G(t) непрерывно дифференцируема (n − 2) раза при t, а n-ая и (n − 1)-ая производные непрерывно дифференцируемы при t, кроме t = 0, причем G(n−1)(+0) + G(n−1)(−0) = 1; 2) во всех точках, кроме t = 0, функция G(t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, соответствующему (2) (при f(t) ≡ 0); 3) функция Грина и ее производные подчинены оценке G(i)(t) Me−γ|t| (i = 0, 1, ..., n, −∞ < t < +∞)

где M и γ — некоторые положительные постоянные.

Лемма 1. Пусть нечеткозначная функция f˜(t) в правой части дифференциального уравнения (1) непрерывна и ограничена на всей числовой оси, а корни характеристического уравнения anλn + an−1λn−1 + ... + a1λ + a0 = 0 не содержат точек мнимой оси. Пусть дополнительно все коэффициенты дифференциального уравнения (1) положительны (ai > 0, i = 0, ..., n). Тогда α-индексы zα± нечеткого решения z˜(t) дифференциального уравнения (1) приα [0, 1], t (−∞, ∞) определены единственным образом и име-

286

ют вид

где fα±(s) — индексы нечеткозначной функции f˜(s), а G(t) – функция Грина задачи об ограниченных решениях скалярного дифференциального уравнения (2).

Выражения (3) являются непрерывными и ограниченными на всей числовой оси функциями, дифференцируемыми n раз.

Отметим что, α-индексы zα±(t) нечеткого решения z˜(t) дифференциального уравнения (1) в условиях леммы 1 удовлетворяют соотношениям ( α [0, 1], t (−∞, ∞))

an(zα±)(n)(t)+an−1(zα±)(n−1)(t)+...+a1(zα±)′(t)+a0zα±(t) = fα±(t), (4)

где fα±(t) – α — индексы нечеткозначной функции f˜(t).

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и дополнительно функция Грина G задачи (2) неотрицательна. Тогда выражения

(3) при t (−∞, ∞) представляют собой α-индексы некоторого нечеткого числа z˜(t).

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1 и дополнительно функция Грина G задачи (2) неотрицательна. Тогда нечеткозначная функция, порождаемая при t (−∞, ∞) α-индексами (3), характеризуется представлением

−∞

Теорема 2. В условиях теоремы 1 нечеткозначная функция z˜(t), определенная формулой (5), непрерывна и ограничена по t на всей числовой оси.

Непрерывную нечеткозначную функцию z˜(t) назовем ультраслабым решением нечеткого дифференциального уравнения (1), если ее α-индексы zα± при α [0, 1] n раз дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям (4). Таким образом, в условиях теоремы 1 нечеткозначная функция (5) есть ультраслабое ограниченное на всей числовой оси решение уравнения (1).

287

Теорема 3. В условиях теоремы 1 ультраслабое решение нечеткого дифференциального уравнения (1), ограниченное на всей числовой оси единственно.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно нечеткозначная функция f˜(t) непрерывно S- дифференцируема при t (−∞, ∞) порядка j 1, причем соответствующие S-производные ограничены при t (−∞, ∞). Тогда нечеткозначная функция (5) S-дифференцируема порядка j раз при t (−∞, ∞).

Литература

1. Puri M.L., Ralescu D.A. Differential of fuzzy functions / M. L. Puri, D. A. Ralescu // J. Math. Anal. Appl. — 1983. — V.91. —

P.552–558.

2.Seikkala S. On the fuzzy initial value problem / S. Seikkala // Fuzzy Sets and Systems — 1987. — V.24 — № 3. — P. 319–330.

3.Khastan A., Bahrami F., Ivaz K. New Results on Multiple Solutions for Nth–Order Fuzzy Differential Equations under Generalized Differentiability / A. Khastan, F. Bahrami, K. Ivaz // Boundary Value Problems — 2009. — № 7. — P. 1–13.

4.Allahviranloo T., Abbasbandy S., Salahshour S., Hakimzadeh

A. A new method for solving fuzzy linear differential equations / T. Allahviranloo, S. Abbasbandy, S. Salahshour, A.Hakimzadeh // Soft Computing — 2011. — V. 92. — P. 181–197.

5.Ahmad L., Farooq M., Abdullah S. Solving nth order fuzzy differential equation by fuzzy Laplace transform / L. Ahmad , M.Farooq, S. Abdullah // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics — 2014. — P. 1–20.

6.ElJaoui E., Melliani S., Saadia Chadli L. Solving second–order fuzzy differential equations by the fuzzy Laplace transform method / E. ElJaoui, S. Melliani, L. Saadia Chadli // Advances in Difference Equations —2015. — P. 1–14.

7.Красносельский М.А., Бурд, В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. — М. : Наука, 1970. — 351 с.

8.Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / А.Н.Аверкин. — М. : Наука, 1986.

288

ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ В РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ1

И.Г. Царьков (Москва, МГУ, механико-математический факультет, Центр фундаментальной и прикладной математики) tsar@mech.math.msu.su

Для прикладных задач, в которых ищется наилучшее или почти наилучшее приближение, часто бывает необходимо использовать характеризационные свойства элементов наилучшего приближения. Геометрическая теория приближения с этой целью рассматривает понятие солнца, в определении которого лежит геометрическая переформулировка известного критерия Колмогорова для элемента наилучшего приближения. Часто это приводит к изучению различных соотношений между различными видами этих солнц, которые оказываются полезными для получения утверждений о строгих солнцах или даже о чебышевских солнцах. Такой подход оказывается плодотворным, если мы, к примеру, хотим из устойчивости приближения вывести сначала свойство δ-солнечности, а затем за счет ограничений на пространство и множество получить свойство строгой солнечности. В этой работе мы исследуем вопрос: при каких условиях на пространство и множество мы получим, что это множество является множеством существования, т.е. когда для всех точек пространства существуют ближайшие элементы в этом множестве. В настоящей работе мы в основном будем рассматривать взаимоотношения между классами δ-солнц и γ-солнц в пространствах, являющихся обобщениями линейно нормированных пространств, а именно, в линейных пространствах с некоторой несимметричной нормой · | на нем. От несимметричной нормы на линейном пространстве X будем требовать свойства: 1). αx| = α x| для всех α 0, x X; 2).x + y| x| + y| для всех x, y X и 3). x| 0 для всех x X, и 3a). x| = 0 x = 0. Несимметричная норма задается функционалом Минковского некоторого, вообще говоря, несимметричного тела, содержащего ноль в своем ядре. В общем случае пространство с несимметричной нормой удовлетворяет только аксиоме отделимости T1 (т.е. для любых a, b X найдутся их окрестности O(a), O(b) такие, что a / O(b), b / O(a)) и может быть нехаусдорфовым.

1 Исследование выполнено в МГУ им. М. В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00204).

© Царьков И.Г., 2024

289

Несимметричные нормы возникли, по-видимому, впервые у Г. Минковского (“функционал Минковского”;), в бесконечномерный анализ они были привнесены работами М. Г. Крейна. Термин несимметричная норма был предложен Крейном в 1938 г. М. Г. Крейн, в одиночку и в соавторстве, использовал несимметричные нормы при исследовании экстремальных вопросов, связанных с проблемой моментов Маркова. Важность сублинейных функционалов в ряде задач выпуклого анализа и математического анализа была отмечена X. Кёнигом.

Обозначим также через − и ˚− левые шары, т.е. со-

B (x, r) B (x, r)

ответственно множества

{y X | x − y| r} и {y X | x − y| < r}.

Для произвольного множества M некоторого несимметричного пространства X через ϱ(y, M) (y X, M X) обозначим расстояние до множества M, т.е. величину inf z−y|. Через ϱ−(y, M) обозначим

Определение 1. Точка x X называется точкой существования (левого существования) для множества M X, если PM x ̸= (PM−x ̸= ). Множество M называется множеством существования (левого существования), если все точки x X являются точками существования (левого существования).

Определение 2. Несимметричное проcтранство X = (X, · |) называется равномерно выпуклым, если для любых ε > 0 и a (0, 1] существует δ > 0 такое, что для любых f, g X: f| = g| = 1 из условия ∆(a) < δ вытекает, что f B(µg, ε) для некоторого

µ [1 − ε, 1].

Последовательность {xn} X называется фундаментальной (обратно фундаментальной), если для любого ε > 0 существует

NN такое, что xm − xn| < ε ( xn − xm| < ε) для всех m n N. Несимметричное пространство X = (X, · |) называется (обрат-

но) лево-полным, если для любой (обратной) фундаментальной последовательности {xn} X существует точка x X такая, что

xn − x| → 0 при n → ∞.

Несимметричное пространство (X, ·|) лево- (право-) хаусдорфово, если для любых различных точек a, b X найдется число ε > 0,

290