для x 2,0. Это значение лежит между 1,0 и 3,0, т. е. между –1 и 0 в кодиро-

ванном масштабе. Так как в натуральном масштабе 2,0 лежит посередине, то ему соответствует –0,5 в кодированном масштабе (для х1 = 2,5 будет

х1 = –0,25, для х1 = 1,5 будет х1 = –0,75 и т. д.) (см. ниже).

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Размер интервала варьирования составляет некоторую долю от области определения фактора. Можно, например, условиться о следующем: если интервал составляет не более 10 % от области определения, то считать его узкими, не более 30 % — средним, в остальных случаях — широким.

Продолжим рассмотрение примера из п. 3.2. Область определения факторов была выбрана следующим образом: для x1 — 0,5…3, для x2 — 3…8. Ос-

новной уровень: x1 1,5; x2 0,7.

Экспериментатор имел такую априорную информацию: точность фиксирования факторов средняя, поверхность отклика линейная, диапазон изменения параметра оптимизации довольно узок. Принимаемое решение — широкий интервал варьирования. Экспериментатор выбрал такие интервалы: I1 0,5; I2 1,0, что составляет 20 % от области определения факторов.

3.4. Пример решения задачи (матрица эксперимента)

Задача 41. Исходные параметры технологического процесса составляют: толщина пленки 55 мкм; время экспозиции 30 с.

Составить матрицу эксперимента и получить линейную модель процесса.

Решение:

x1 c 55; x2 c 30.

Возьмем верхние и нижние значения обоих факторов так, чтобы они располагались симметрично относительно текущего значения, например:

Расположение экспериментальных точек в двумерном факторном пространстве приведено на рис. 15.

53

мированное значение –1, среднему значению – нормированное 0. В общем виде нормировка фактора выражается формулой

где xi в xi н . 2

С учетом нормировки факторов система уравнений и матрица эксперимента примут следующий вид:

Поскольку сумма членов во втором и третьем столбце матрицы равны нулю, свободный член модели можно найти, сложив все четыре уравнения:

4a0 140 210 170 220 740;

а0 185.

Чтобы найти какой-либо другой коэффициент модели, нужно изменить знаки в уравнениях таким образом, чтобы в соответствующем столбце оказались одни единицы, после чего сложить все четыре уравнения.

В общем случае решение системы будет выглядеть как

Тогда остальные параметры будут равны

4a1 140 210 170 220 40; a1 10.

4a2 140 210 170 220 120; a2 30.

Таким образом, линейная модель технологического процесса в окрестностях точки (55, 30) имеет вид

y 185 10x1 30x2.

Возвращаемся к ненормированным факторам. Переход от нормированных к ненормированным факторам осуществляется обратным преобразованием:

55

Чтобы найти параметры модели для ненормированных координат, подставим выражения для нормированных координат в уравнение модели:

Сравнивая последнее выражение с выражением для линейной модели в ненормированных координатах y a0 a1x1 a2x2, получим выражение для

параметров модели:

Для приведенного выше примера:

a0 185 10 6060 5050 30 3535 2525 105;

Окончательно получаем модель в естественных координатах: y 105 2x1 6x2.

56