лись на труды Абеля. Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю дискуссию.

В теории рядов имя Абеля носят несколько важных теорем (см. Степенной ряд). Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. Коши, правда, опубликовал (1821) доказательство даже более общей теоремы: «Сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна», однако Абель в 1826 году привёл контрпример, показывающий, что эта теорема неверна:

f (x) = sin x − 12 sin 2x + 13 sin3x − 14 sin 4x

Эта функция периодична (с периодом 2π ). В интервале −π ≤ x ≤ π она равна π2 , однако на концах этого

интервала терпит разрыв (равна нулю). Позднее Вейерштрасс исправил формулировку теоремы, введя понятие равномерной сходимости. В доказательствах самого Абеля чаще всего невозможно найти неточности и современному математику.

В теории специальных, особенно эллиптических и абелевых функций Абель был признанным лидеромоснователем наряду с Якоби.

Он первый определил эллиптические функции как функции, обратные эллиптическим интегралам, распространил их определения на общий комплексный случай и глубоко исследовал их свойства.

Самая важная теорема Абеля об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно. Лежандр назвал это открытие «нерукотворным памятником» Абелю.

Память

Абелю поставлены памятники в Осло и Ерстаде. Его портрет помещался на норвежскую банкноту 500 крон (1978). В 2002 году, в честь 200-летнего юбилея Абеля, правительство Норвегии учредило абелевскую премию по математике.

Почтовые марки

1.Теорема Абеля

1.1.Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a0 , a1 , a2 , , an , − вещественные числа, называемые коэффициентами ряда.

Ряд (1.2) формальной заменой x − x0 на x сводится к ряду (1.1). Относительно ряда (1.1) нельзя ставить вопрос, сходится он или нет. В самом деле, рассмотрим ряд

x + x2 + x3 + x4 + .

Если x = 0 , то он имеет вид 0 +0 +0 + и сходится, а если x =1, то наш ряд превращается в ряд 1+1+1+ и расходится.

Вообще по отношению к ряду (1.1) разумно ставить вопрос только так: при каких значениях x этот ряд сходится и при каких расходится?

27

Степенной ряд (1.1) всегда сходится точке x = 0 , а ряд (1.2) – в точке x0 , и их сумма в этих точках равна a0 .

Пример 1.1. Ряды x + x3 + + x2n−1 + и (x + 2)2 + (x + 2)4 + + (x + 2)2n + являют-

ся степенными рядами.

Выясним вид области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.1 (Абель).

1. Если степенной ряд сходится при x = x1 ≠ 0 , то он сходится абсолютно для всех x таких, что x < x1 ;

2.если степенной ряд расходится при x = x2 , то он расходится при любом x, для которого

x> x1 .

∞

1. ▲ Пусть степенной ряд ∑an xn сходится при x = x1 ≠ 0 , т.е. сходится числовой ряд

n=1

n=0

дится для x > x2 . По доказанному он должен сходиться и при x = x2 , так как x2 < x ,

что противоречит условию расходимости ряда при x = x2 . ▼

Теорема Абеля дает возможность установить характер области сходимости степенного

∞

ряда ∑an xn .

n=0

Пусть в точке x1 ≠ 0 ряд сходится. Тогда ряд будет абсолютно сходиться в интервале (− x1 ; x1 ). Если в некоторой точке x2 (здесь x2 > x1 ) ряд расходится, то он будет расходиться и в бесконечных интервалах (−∞; − x2 )и (x2 ; +∞). В этих условиях на оси Ox суще-

ствуют две точки (симметричные относительно начальной точки O), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет место следующая теорема.

28

Замечание 1. Что касается концов интервала сходимости (−R; R) , то возможны следующие три случая:

1)степенной ряд сходится как в точке x = −R , так и в точке x = R ,

2)степенной ряд расходится в обеих точках,

3)степенной ряд сходится в одной конце интервала сходимости и расходится в другом конце.

При каждом значении x степенной ряд становится числовым рядом. Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим

Отсюда следует, что ряд (1.4) будет сходиться, если x ρ <1, и расходиться, если x ρ >1.

29

∞

По теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд ∑an xn сходится абсолютно для

n=0

всех x таких, что x < ρ1 , и расходится при x > ρ1 .

По определению радиуса сходимости получаем, что R = ρ1 .