«Дополнительные главы ТОЭ» Лекция 6
Резонанс в индуктивно связанных контурах.
Частотные характеристики цепей, содержащих только реактивные элементы
Доцент ВШВЭ Е.Ю.Кочеткова
Резонанс в индуктивно связанных контурах
:
ω= ωo’ (ω= ωo” ) I1 =max=U1 /r1
Рассмотрим случай, когда затухание 2-го контура отлично от нуля (r2≠0) Реактивное сопротивление цепи:
|
|
|
|
|
M |
2 |
( L |
1 |
|
|
) |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
||
х |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
э |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
( L |
|
|
|
) |
2 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим частоты, на которых имеет место резонанс, из уравнения
х |
э |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( L |
1 |
)[r |
2 |
( L |
1 |
|
) |
] |
M |
2 |
( L |
1 |
) 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
C |
2 |
2 |
C |
|
|
|
|
|
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обычно такие контуры работают в режиме согласованной настройки, когда их собственные резонансные частоты равны друг другу. Для упрощения анализа уравнения считаем контуры одинаковыми: L1 = L2,=L C1 = C2 =C ,
Делим на ωL:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
0 |
)[d |
2 |
( |
|
|
|
|
0 |
) |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
2 |
] 0, |
2 |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r |
|
, k |
M |
||
|
|
, d |
|
2 |
|
|
||||||
0 |
LC |
2 |
|
L |
L |
L |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
Собственная |
Затухание |
Коэффициент связи |
||||||||||
частота |
|
|
2-го контура |
|
|
|||||||
контуров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Корни уравнения (резонансные частоты):
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d |
2 |
|
4(k |
2 |
d |
2 |
) d |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2,3 |
|
|
0 |
|
|
|
2(1 k |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из последнего выражения видно, что при данном затухании d2 при некотором значении k (называемом критическим) внутренний корень =0, и тогда
|
|
|
|
|
2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
2(1 |
k |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
кр |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, при данном k при некотором значении d2 (называемом критическим) внутренний корень =0, и тогда
|
|
|
|
|
|
2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 кр |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
3 |
|
0 |
2(1 |
k |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если при данном k значение d2 станет больше критического, или при данном d2 значение k станет меньше критического, корни ω 2 , ω 3 становятся мнимыми, и тогда резонансу соответствует только частота ω 0.
Таким образом, в цепи, представляющем собой 2 индуктивно связанных контура, в зависимости от соотношения параметров резонанс имеет место при 1,2 или 3-х значениях частоты.
Частотные характеристики цепей, содержащих только реактивные элементы
L3
C2
C1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
1 |
|
j C2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
j C1 |
|
j( L3 |
|
1 |
) |
|||||||
|
|
|
|
C2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 L3 (C1 C2 ) 1
3 L3C1C2 C1
В общем виде
Функция х(ω) обладает следующими свойствами:
1.Полиномы числителя и знаменателя содержат члены, степень ω которых уменьшается на 2.
2.Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на 1 (полиномы – четный и нечетный).
3.В чисто реактивной цепи реактивная проводимость b(ω) = 1/ х(ω) Заметим , что в цепи с активным сопротивлением связь b и х иная:
b x
r 2 x2
4.Можно показать, что
dbвх < 0 dω
А это значит, что нули и полюса функций х(ω) и b(ω) чередуются на оси ω:
5. При ω →∞ и ω →0 как х(ω), так и b(ω) могут стремиться либо к 0, либо к ∞, т.к. в пределе L-C цепь может вести себя или как емкость, или как индуктивность
6.В диапазоне 0 < ω < ∞ нули и полюса как функции х(ω), так и b(ω), соответствуют резонансным частотам цепи:
Частота, при которой х=0 (это ноль функции х(ω) ), соответствует резонансу напряжений, т.е.резонансу при последовательном соединении индуктивности и емкости. При этом b=∞