Ekz_progr_po_TViMS_dlya_IE (1)

Экзаменационная программа по высшей математике (теория вероятностей и математическая статистика)

для групп ИЭ-1-2-3-22. ИЭ 61-62-…-66-22.

1.Основные формулы комбинаторики (основной комбинаторный принцип, размещения, перестановки, сочетания).

1.1 Основной комбинаторный принцип:

Если некоторый первый выбор можно сделать способами, для каждого первого выбора некоторый второй можно сделать способами, для каждой пары первых двух – третий выбор можно сделать способами и т.д., то число способов последовательности таких выборов равно ∙ ∙

Различают два способа выбора:

-Повторный выбор, при котором выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность и может быть выбран вновь

-Бесповторный выбор, при котором выбранный элемент в совокупность не возвращается, и выборка не содержит повторяющихся элементов

1.2Повторный выбор:

При повторном выборе, каждый по порядку элемент может быть выбранспособами. Согласно комбинаторному принципу, такую выборку можно сделать ! способами

1.3 Число размещений:

!" = (#&')#! ! – При бесповторной выборке элемент выборки номером

можно выбрать − + 1 способом

1.4 Число перестановок:

"" = ! – Особый случай, когда один за другим выбраны все элементов

1.5 Число сочетаний:

порядка в выборке

2.Статистическое и классическое определения вероятности. Свойства вероятности

2.1Статистическое определение вероятности:

Событие имеет вероятность, если:

-Можно произвести в неизменных условиях неограниченное число независимых друг от друга опытов, в каждом из которых событие может произойти или нет

-Для каждой большой серии опытов замечено, что частота события незначительно отличается от некоторого (вообще говоря, неизвестного) постоянного числа. Это число называют вероятностью события и обозначают ( ). В качестве его значения может быть принята частота события при большом числе опытов или число, близкое к ней

2.2Классическое определение вероятности:

Если исходы опыта равновозможны, то вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов опыта, т.е. ( ) = !" , где – число исходов опыта, благоприятствующих событию, а – число всех возможных исходов.

Важнейшим условием применения этого определения является равновозможность всех исходов опыта

2.3Свойств вероятности:

-Вероятность любого события есть число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ ( ) ≤ 1. Вероятность невозможного события равна 0, а вероятность достоверного события равна 1.

-Если события и несовместны, то ( + ) = ( ) + ( )

-Вероятность любого события в сумме с вероятностью противоположного события Равна единице: ( ) + 4 5 = 1

3. Теорема сложения вероятностей.

3.1 Теорема сложения вероятностей:

Если события несовместны, то ( + ) = ( ) + ( ) Теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: ( + ) = ( ) + ( ) − ( )

Доказательство:

+ = +( + ) = ( ) + 4 5

= +( ) = ( ) + 4 5

4 5 = ( ) − ( )

( + ) = ( ) + ( ) − ( )

Для трех совместных событий справедлива следующая формула:

( + + ) = ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − ( ) − ( ) + ( )

Если события несовместны:

( + + ) = ( ) + ( ) + ( )

События называются несовместными, если их появление в одном и том же опыте невозможно

4. Теорема умножения вероятностей

4.1 Теорема умножения вероятностей:

Если события независимы, то ( ) = ( ) ( ) Теорема:

Вероятность произведения событий равна вероятности одного события, умноженной на вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.:

Площадь прямоугольника

Событие называется независимым, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что предыдущие события произошли, т.е.

( ,, -, … , ") = ( ,) *!( -) *!*" ( .) … *!*"… *#$! ( ")

Если события независимы, то:

( ,, -, … , ") = ( ,) ( -) … ( ")

5. Формула полной вероятности.

5.1 Формула полной вероятности:

Пусть событие может произойти вместе с одним и только с одним из несовместных событий ,, -, … , ", тогда:

= , + - + + "

( ) = ( , ) + ( - ) + + ( " )

( ) = ( ,) +!( ) + ( -) +" ( ) + + ( ") +#( )

"

( ) = J ( 1) +% ( )

12,

5.2 Формула Байеса

*( 1) = " ( 1) +&( ) ∑32, 4 35 +'( )

6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.

6.1 Схема независимых испытаний

Опыты называются независимыми, если вероятность каждого исхода любого опыта не изменяется от того, какие исходы имели другие опыты

Последовательностью независимых событий называется череда опытов, проводимая независимо друг от друга, в каждом из которых возможно два исхода:

-Удача – («Удача») =

-Неудача – (»Неудача») = = 1 −

6.2Формула Бернулли

Пусть проводится последовательность независимых событий с вероятностью – появления события. Тогда вероятность того, что в независимых опытах событие появится ровно раз, равна по формуле Бернулли

"4 = "4 4 "&4, где = 1 −

7. Простейший поток событий. Формула Пуассона.

7.1 Простейший поток событий:

Потоком событий – называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайный момент времени

Поток называется простейшим, если:

-Появление того или иного числа событий на интервале времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от событий, происходящих вне этого интервала и от его расположения на числовой оси

-Вероятность наступления только одного события за малый промежуток ∆ пропорциональна длине этого промежутка

-Вероятность наступления двух или более событий за малый промежуток времени ∆ есть величина бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем ∆

7.2Формула Пуассона:

Если события происходят независимо друг от друга и по одному, и на данный интервал времени или пространства приходится в среднем событий, то вероятность того, что на этом интервале произойдет событий определяется формулой:

4 = 4 &5

!

8.Случайные величины дискретные и непрерывные (примеры случайных величин). Функция распределения и ее свойства.

8.1Случайные величины дискретные и непрерывные (примеры случайных величин)

Случайной величиной называется функция, которая каждому исходу опыта ставит в соответствие некоторое число

Случайная величина будет описана полностью, если указаны все ее возможные значения и соответствующие им вероятности

Всякое соотношение между возможными значениями случайной величина и вероятностями этих значений называется законом распределения

Дискретные случайные величины – случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно (счётно)

Примеры: подбрасывание монеты, число телефонных звонков, число автомобильных аварий, сумма денег, истраченная в течение дня

Способы задания случайных величин:

-В виде формулы

-В виде таблицы

-В виде графика

Непрерывные случайные величины – величина называется непрерывной, если возможные ее значения образуют целый интервал конечный или бесконечный

Непрерывной называется та случайная величина, у которой функция распределения непрерывна. Если функция распределения имеет участки непрерывного роста и скачки, то говорят о случайной величине смешанного типа

Если случайная величина непрерывна, то вероятность любого отдельного значения равна 0

Примеры: ошибка измерения, координаты попадания снаряда, рост наугад взятого человека

8.2 Функция распределения и ее свойства:

Функцией распределения случайной величины называют функцию( ) = ( < ), определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение меньше

Свойства:

- 0 ≤ ( ) ≤ 1. Это следует из того, что ( ) равна вероятности, а вероятности любого события заключена между нулем и единицей. Также (−∞) = ( < −∞) = 0 и (+∞) = ( < +∞) = 1

- Функция распределения является неубывающей, т.е. ( ,) ≤ ( -)

при , < -. ( < -) = ( < ,) + ( , ≤ < -) или ( -) −( ,) = ( , ≤ < -)

- ( ) непрерывна слева, т.е. lim ( ) = ( 9) при → 9 − 0

∆7→9

-Для непрерывной случайной величины:

( ≤ ≤ ) = ( ≤ < ) = ( < ≤ ) = ( < < )

=( ) − ( )