10. Закон сохранения импульса, проекции импульса.

 

      Рассмотрим систему состоящую из n материальных точек, взаимодействующих между собой.

 

Силы взаимодействия между телами, образующими систему, обозначим . Взаимодействие внешних сил со стороны тел не входящих в данную систему на і-тое тело системы обозначим .

       Запишем  ІІ закон Ньютона применительно ко всем телам, образующим систему:

по III закону Ньютона

 

   

      Векторная сумма импульсов всех тел, образующих данную систему называется результирующим импульсом системы.

      Если внешние силы не действуют на тела системы (нет взаимодействия между телами, входящими в систему и внешними телами), или действие внешних сил скомпенсирована, то система называется замкнутой или изолированной.

     В этом случае

   Закон сохранения импульса:

геометрическая (векторная) сумма импульсов замкнутой системы остаётся постоянной с течением времени при любых взаимодействиях внутри системы:

 

З. С. И.          

т. е. в результате взаимодействия между телами системы импульсы отдельных тел могут изменяться как по величине, так и по направлению, но в таких рамках, что векторная сумма импульсов всех тел, образующих данную систему остаётся величиной постоянной.

Пример 1: абсолютно упругий удар З.С.И:  .      =>

Проекция на ось x: 

Пример 2: Упругий удар шара об неподвижную стенку

 

 

                                                     

                                                            

 

 

Билет 11. Работа, мощность силы.

Работой силы F на перемещение ds называется проекция F_s этой силы на направление перемещения, умноженная на само перемещение: .(1)

Где α – угол между векторами и (рис 36). Поскольку перемещение предполагается бесконечно малым, величина называется также элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении. Если воспользоваться понятием скалярного произведения, то можно сказать, что элементарная работа есть скалярное произведение силы на перемещение : (2). В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (1) или (2). Если сложить все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а число их – к бесконечности, то такой предел обозначается символом и называется криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L. Этот интеграл, по определению, и дает работу силы F вдоль кривой L. Если , то проецируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения , получим , а после умножения : , или . Таким образом, элементарная работа результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: . Единицей работы в системе СИ является Джоуль(Дж). Джоуль есть работа силы в один ньютон на перемещение в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. В системе СГС единой единицей работы является эрг. Эрг есть работа силы в одну дину на перемещении в один сантиметр при том же условии, т.е. в предположении, что направления силы и перемещения совпадают. Очевидно, 1Дж=10⁷ эрг. Работа, отнесенная к единице времени, т.е. величина , называется мощностью. Ее единицами являются эрг на секунду и джоуль на секунду, или ватт(Вт)Очевидно, 1Вт=10⁷эрг/с.

Билет 12. Работа центральных сил. Консервативные силы. Потенциальная энергия.

Работа центральной силы.

Элементарная работа   силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы   (в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние   : где α есть угол между этими векторами. Поскольку  , то направление отсчёта угла значения не имеет.

При перемещении на расстояние от   до  , весь пройденный путь можно разбить на   элементарных участков. И тогда полная работа   будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков   будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы :

Рассматривая движение в Декартовой системе координат центральную силу можно представить в виде геометрической суммы её проекций на координатные оси:

где   ,  ,  суть единичные векторы (орты) для своих осей.

Консервативные силы.

Е сли силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы(т.е. от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависят от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются консервативными. Можно дать другое определение консервативных сил, эквивалентное приведенному. Пусть система из положения 1 перешла в положение 2 по пути 132(Мы символически изображаем положение системы точкой на плоскости, а путь перехода-линией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки).При этом будет совершена работа А₁₂₃. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А₁₄₂. По определению консервативных сил А₁₃₂=А₁₄₂.Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А₁₄₂=-А₂₄₁, где А₂₄₁ – работа, которая была бы совершена при переходе системы из положения 2 в положение 1 по тому же пути, но в обратном порядке, т.е. по пути 241. Таким образом, .Но сумма есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное положение 1.В этом случае говорят о работе по «замкнутому пути». Итак, работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому пути следует независимость работы от пути перехода. Поэтому можно дать еще такое определение консервативных сил. Консервативными называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по любому замкнутому пути равна нулю.

Потенциальная энергия.

     Если тело поднять на высоту h, то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу

Если жать пружину на величину    (X1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу

С ледовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.

Если тело падает с некоторой высоты h1до высоты h2, его потенциальная энергия изменяется от значения

до

Совершенная при этом работа равна A=

т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

   Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его   W_П уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и W_П возрастает.