13. Работа центральных сил. Консервативные силы. Потенциальная энергия.
Работа центральной силы.
Элементарная работа силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы (в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние : где α есть угол между этими векторами. Поскольку , то направление отсчёта угла значения не имеет.
При перемещении на расстояние от до , весь пройденный путь можно разбить на элементарных участков. И тогда полная работа будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы :
Рассматривая движение в Декартовой системе координат центральную силу можно представить в виде геометрической суммы её проекций на координатные оси:
где , , суть единичные векторы (орты) для своих осей.
Консервативные силы.
Е сли силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы(т.е. от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависят от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются консервативными. Можно дать другое определение консервативных сил, эквивалентное приведенному. Пусть система из положения 1перешла в положение 2 по пути132(Мы символически изображаем положение системы точкой на плоскости, а путь перехода-линией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки).При этом будет совершена работа А123. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А142. По определению консервативных сил А132=А142.Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А142=-А241, где А241 – работа, которая была бы совершена при переходе системы из положения 2 в положение 1 по тому же пути, но в обратном порядке, т.е. по пути 241. Таким образом, .Но сумма есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное положение 1.В этом случае говорят о работе по «замкнутому пути». Итак, работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому пути следует независимость работы от пути перехода. Поэтому можно дать еще такое определение консервативных сил. Консервативными называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по любому замкнутому пути равна нулю.
Потенциальная энергия.
Если тело поднять на высоту h, то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу
Е сли жать пружину на величину (X1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу
Следовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.
Если тело падает с некоторой высоты h1до высоты h2, его потенциальная энергия изменяется от значения
до
Совершенная при этом работа равна A=
т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.
Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его WП уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и WП возрастает.