25. Существует несколько видов случайных процессов, каждый из которых имеет свои характеристики и применения. Рассмотрим некоторые из них:

Дискретный случайный процесс - это случайный процесс, который определен на дискретном множестве времени. В таком процессе каждое значение случайной величины определено только в определенные моменты времени. Он может быть задан с помощью последовательности случайных величин, принимающих значения на дискретном множестве, либо с помощью последовательности случайных величин, принимающих значения на непрерывном множестве и дискретных моментах времени.

Непрерывный случайный процесс - это случайный процесс, который определен на непрерывном множестве времени. В таком процессе каждое значение случайной величины определено для любого момента времени. Он может быть задан с помощью функции, которая описывает среднее значение и ковариационную функцию случайной величины в каждый момент времени.

Стохастический процесс - это случайный процесс, который может быть задан с помощью стохастических уравнений. Такой процесс можно использовать, чтобы моделировать условия, которые не могут быть определены точно.

Авторегрессионный процесс - это случайный процесс, который моделирует зависимости между последовательными значениями случайной величины. Каждое значение случайной величины зависит от предыдущих значений, и коэффициенты авторегрессионной модели могут быть использованы для прогнозирования будущих значений.

Процесс Броуновского движения - это случайный процесс, который описывает случайное движение частицы в жидкости или газе. В таком процессе на каждый момент времени частица движется в случайном направлении, что приводит к случайным смещениям.

Марковский процесс - это случайный процесс, в котором значение случайной величины в каждый момент времени зависит только от значения в предыдущий момент времени. Этот процесс может быть использован для моделирования временных рядов и других случайных процессов.

26. В теории случайных процессов и полей важное понятие - это стационарность.

Стационарный процесс - это такой случайный процесс или поле, характеристики которого не меняются со временем. То есть, если рассматривать два временных интервала, то статистические характеристики, такие как математическое ожидание и ковариационная функция, будут совпадать. Стационарность можно классифицировать на слабую и сильную.

Нестационарный процесс - это такой случайный процесс или поле, характеристики которого изменяются со временем. Например, если взять временной ряд температуры, то его статистические характеристики, такие как математическое ожидание и ковариация, будут меняться в зависимости от времени года.

Существует несколько типов стационарности:

Стационарность в узком смысле (строгая стационарность) означает, что распределение вероятности каждого конечномерного набора случайных величин в процессе не зависит от времени.

Слабая стационарность (широкая стационарность) означает, что математическое ожидание и ковариационная функция не изменяются со временем. Однако, распределение каждой отдельной случайной величины может меняться в зависимости от времени.

Детерминированная стационарность - это случайный процесс, который может быть описан детерминированными уравнениями со стационарными коэффициентами.

27. Корреляционная функция - это функция, которая используется для измерения связи между двумя случайными величинами (или событиями) в зависимости от времени, расстояния или другого параметра.

Для двух случайных величин X и Y, их корреляционная функция определяется следующим образом:

Rxy(t) = E[(X(t) - μx)(Y(t) - μy)]

где μx и μy - математические ожидания случайных величин X и Y соответственно, а E - это математическое ожидание.

Корреляционная функция показывает, насколько одна случайная величина коррелирует с другой при разных значениях времени (или расстояния). Она может принимать значения от -1 до 1, где -1 означает полную обратную корреляцию, 0 - отсутствие корреляции, а 1 - полную прямую корреляцию.

28. Спектральная плотность - это функция, которая используется для описания частотного (или спектрального) состава сигнала или случайного процесса. Она определяет, какая доля энергии того или иного частотного диапазона присутствует в сигнале или процессе.

Формально, спектральная плотность определяется через преобразование Фурье автоковариационной функции случайного процесса или измеренного сигнала:

S(f) = ∫ R(t) e^(−iωt) dt,

где R(t) - автоковариационная функция, f - частота, ω = 2πf.

Основные свойства спектральной плотности:

Нормировка: интеграл по всем частотам от спектральной плотности равен дисперсии сигнала или процесса.

∫ S(f) df = σ²

Симметричность: для действительного случайного процесса (или сигнала) спектральная плотность симметрична относительно нулевой частоты (или герцовки).

S(-f) = S(f)

Более широкий спектр значений в привычных условиях бывает у низких частот, часто описывается как «громоздкость спектра у низких частот».

29. Белый шум - это случайный процесс, который имеет равномерный спектральный состав, т.е. равную мощность на всех частотах. Во временной области белый шум обычно проявляется в виде случайной последовательности, которая имеет равномерную амплитуду для каждого временного отсчета. Формула для белого шума во временной области может быть записана как:

В частотной области спектральная плотность белого шума равномерна на всех частотах, что может быть записано следующей формулой:

S(f) = S0, где S0 - постоянная спектральная плотность.

Обычно белый шум генерируется с помощью случайного процесса, который имеет равномерное распределение на интервале [-1, 1], но его можно генерировать и другими способами, например, с помощью белого шума, смоделированного в частотной области.

30. Марковские случайные процессы - это случайные процессы, для которых будущее состояние зависит только от текущего состояния и не зависит от прошлых состояний. Такие процессы называются Цепями Маркова. Цепь Маркова определяется следующим образом:

Пусть S = {S1, S2, ..., Sn} - это множество состояний цепи Маркова, тогда процесс X = {Xn: n ≥ 0} является Цепью Маркова, если для любого i, j ∈ S и n ≥ 0 выполняется свойство:

P{Xn+1 = j | X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn = in} = P{Xn+1 = j | Xn = i}

где P{Xn+1 = j | Xn = i} - вероятность перехода из состояния i в состояние j.

Цепь Маркова может быть описана с помощью следующих формул:

Формула полной вероятности:

P{Xn+1 = j | X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn = in} = ∑i P{Xn+1 = j | Xn = i} P{Xn = i | X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn-1 = in-1}

Формула Байеса:

P{Xn = i | Xn+1 = j} = P{Xn+1 = j | Xn = i} P{Xn = i} / P{Xn+1 = j}

Формула для n-шагового перехода:

P{Xn+k = j | Xn = i} = ∑m P{Xn+k = j | Xn+m = l} P{Xn+m = l | Xn = i}

где m = 0, 1, ..., k-1, i, j, l - состояния цепи Маркова.

31. Дискретным марковским процессом называется Марковский процесс с дискретными состояниями, где количество состояний конечно или счетно.

Такой процесс описывается вероятностной моделью с конечным или счетным множеством состояний. В дискретном случае множество состояний обычно обозначается как S = {s1, s2, ..., sn}, где n - количество состояний.

Дискретный марковский процесс характеризуется матрицей вероятностей перехода, называемой матрицей Перрона-Фробениуса. В этой матрице ai,j означает вероятность перехода из состояния i в состояние j.

Каждое состояние i в дискретном марковском процессе может быть характеризовано множеством свойств, называемых вектором характеристик:

X(i) = (x1(i), x2(i), ..., xm(i)), где m - количество свойств.

Примером дискретного марковского процесса может быть модель случайного блуждания, где объект может находиться в точках сетки с шагом h и двигаться налево или направо с равной вероятностью.

32. Марковская последовательность - это последовательность случайных величин, где каждая величина зависит только от предыдущей и не зависит от всех остальных величин. В непрерывном случае, вероятность перехода системы из состояния i в состояние j определяется плотностью вероятности перехода. Формула вероятности перехода из состояния i в состояние j выглядит следующим образом:

P(X_{t+1} = j|X_t = i) = \int_{S_j} f_{i,j}(x) dx

где f_{i,j}(x) - это плотность вероятности перехода из состояния i в состояние j в момент времени t, S_j - множество, в котором может приниматься состояние j.

33. Непрерывный марковский процесс - это процесс, в котором значения состояний являются непрерывными величинами. Для описания непрерывного марковского процесса используется плотность вероятности перехода, которая задается следующей формулой:

P(X_{t_1}=i_1, X_{t_2}=i_2, ..., X_{t_n}=i_n) = \ P(X_{t_1}=i_1) \П _{k=1}^{n-1} p_{i_k,i_{k+1}}(t_{k+1}-t_k)

где X_t - это состояние системы в момент времени t, i_k - состояния системы на момент времени t_k, p_{i,j}(t) - плотность вероятности перехода из состояния i в состояние j за время t.

34. Винеровский процесс - это стохастический процесс, который математически моделирует случайное блуждание частицы в движущейся среде. Процесс получил свое название в честь математика Норберта Винера.

Формально, Винеровский процесс W(t) - это процесс со следующими свойствами:

W(0) = 0 (начальная точка равна нулю).

Увеличение за интервал времени T, W(T) - W(0), является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 0 и дисперсией T. То есть:

W(T) - W(0) ~ N(0, T)

Пусть 0 <= t_1 < t_2 < ... < t_n. Тогда вектор [\W(t_1), ..., \W(t_n)]T является многомерной нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей с элементами Cov[\W(t_i), \W(t_j)] = min(t_i, t_j).

Математически Винеровский процесс может быть описан следующей формулой:

W(t) = W(0) + \int_{0}^{t} dW(s)

где dW(s) - приращение процесса за бесконечно малый интервал времени ds.

18