672

Методика Дарбина-Уотсона имеет некоторые недостатки: наличие зон неопределенности, выявление корреляция между соседними наблюдениями.

Приведем пример расчетов. Имеются данные, представленные в таблице по периодам (таблица 1).

1) Построим уравнения авторегрессии:

Уt =а + b 0 х t + с 1* y t-1 + Ɛ t

Для введения инструментальной переменной необходимо построить уравнение регрессии:

Ŷ t-1= d o + d 1* x t-1 + u t

Для удобства расчетов воспользуемся функцией «Анализ данных - Регрессия» табличного процессора MS Excel. Итоги регрессионного анализа представлены в таблице 2.

Таблица 2

Итоги регрессионного анализа

Таким образом, уравнение регрессии примет вид: Ŷ t-1= 69,54 + 0,68 * x t-1 + u t

Итоги регрессионной статистики представлены в таблице 3.

Наши данные при уровне значимости 0,05 по показателю Ŷ t-1 примут следующий вид, представленный в таблице 4.

Таблица 4

Расчетные данные по наблюдениям

Далее необходимо построить уравнение авторегрессии по представленным данным (таблица 5).

Таблица 5

Итоги регрессионного анализа для построения уравнения авторегрессии

Итоги регрессионной статистики представлены в табли-

це 6.

Таким образом, уравнение авторегрессии примет вид:

Уt =93,2 + 0,5 х t + 0,33* y t-1 + Ɛ t

Уравнение значимо, так α = 2,36*10-13. Для параметров уравнения значимость приобретает следующие величины:

Y- пересечение: α = 0,1301; X1: α = 0,0002;

Ŷ t-1: α =0,0483.

Следовательно, при заданном уровне значимости только параметр Y- пересечение не значим.

Выполним расчеты по мультипликаторам:

-краткосрочный : b 0 = 0,4958;

-долгосрочный: b = b 0 /(1-c1) = 0,4958 /(1-0,3292) =

0,739.

Таким образом, увеличение Х1, на 1 единицу приводит к росту уt в том же периоде в среднем на 0,496 единиц. Долгосрочное изменение уt, составит0,739 единиц, т. е. изменение x t на 1 единицу в каком-либо периоде приведет к изменению уt

вдолгосрочной перспективе в среднем на 0,739 единиц. Применим критерий Дарбина-Уотсона для определения

наличия автокорреляции в остатках. Для этого построим вспомогательную таблицу для расчетов (таблица 7).

92

ствует свободный член.

Одной из основных причин автокорреляции являются ошибки спецификации, наличие неучтенных регрессоров. Поэтому для устранения автокорреляции, прежде всего, необходимо попытаться скорректировать модель. Для этого можно попробовать изменить формузависимости (например, использовать нелинейные регрессии), определить существенные факторы, еще не включенные в регрессию, и учесть их при построении модели.

93

Если все разумные процедуры изменения спецификации модели, на ваш взгляд, исчерпаны, а автокорреляция имеет место, то можно предположить, что она обусловлена какими-то внутренними свойствами ряда {et}. В этом случае можно воспользоваться авторегрессионным преобразованием. В линейной регрессионной модели либо в моделях, сводящихся к линейной, наиболее целесообразным и простым преобразованием является авторегрессионная схема первого порядка AR(1).

Рассмотрим модель парной линейной регрессии

Y=βo + β1X +Ɛ.

Тогда наблюдениям t и (t-1) соответствуют формулы:

Y=βo + β1хt +Ɛ,

Y=βo + β1хt-1 +Ɛ t-1.

Пусть случайные отклонения подвержены воздействию авторегрессии первого порядка:

Ɛ t= Ɛ t-1+ t,

где t, t=2,3,4,5… - случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК, а коэффициент известен.

Тогда получается, что:

Авторегрессионное преобразование первого порядка AR(1) может быть обобщено на преобразования более высоких порядков AR(2), AR(3) и т. д.:

Ɛt= 1 Ɛ t-1+ 2 Ɛ t-2 + t,

Ɛt= 1 Ɛ t-1+ 2 Ɛ t-2 + + 3 Ɛ t-3 + t,

Однако на практике значение коэффициента обычно неизвестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Приведем наиболее употребляемый.

94

Статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями через соотношение:

DW 2(1 – ret*et-1).

Тогда в качестве оценки коэффициента р может быть взят коэффициент r = ret*et-1. Следовательно имеем:

r= 1- DW/2.

Всилу ряда причин (ошибок спецификации, инерционности рассматриваемых зависимостей и др.) в регрессионных моделях может иметь место корреляционная зависимость между соседними случайными отклонениями. Это нарушает одну из фундаментальных предпосылок МНК. Таким образом, оценки, полученные на основе МНК, перестают быть эффективными. Это делает ненадежными выводы по значимости коэффициентов регрессии и по качеству самого уравнения. Поэтому достаточно важным является умение определить наличие автокорреляции и устранить это нежелательное явление. При установлении автокорреляции необходимо в первую очередь проанализировать правильность спецификации модели. Если после ряда возможных усовершенствований регрессии (уточнения состава объясняющих переменных либо изменения формы зависимости) автокорреляция попрежнему имеет место, то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений {е}. В этом случае возможны определенные преобразования, устраняющие автокорреляцию.

Для применения указанных схем необходимо оценить коэффициент корреляции между отклонениями. Это может быть сделано на основе статистики Дарбина-Уотсона.

95

Вопросы для проверки и закрепления знаний

1.Что такое автокорреляция?

2.Назовите основные причины автокорреляции в регрессионных моделях.

3.Что может вызвать положительную автокорреляцию?

4.Что может вызвать отрицательную автокорреляцию?

5.Каковы последствия автокорреляции?

6.Что такое автокорреляция первого порядка?

7.Перечислите основные методы обнаружения автокорреляции.

8.Какие предположения лежат в основе критерия Дар- бина-Уотсона?

9.Какая статистика используется в критерии ДарбинаУотсона?

10.Что такое коэффициент автокорреляции первого по-

рядка?

11.Опишите схему использования теста ДарбинаУотсона.

Задания для проверки и закрепления знаний

Задание 1. Применение критерия Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции

Исходные данные.

Имеются исходные данные, представленные в таблице 8.

Таблица 8

Исходные данные

Задание

1. Проверить гипотезу об автокорреляции ошибок с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Сформулировать выводы.

Задание 2. Применение критерия Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции

Исходные данные:

На основе ежемесячных данных была построена модель временного ряда Ŷ t = 1,7 + 0,7t . В таблице 9 указаны остатки линейной регрессионной модели.

Задание

1. Вычислить коэффициент автокорреляции и проверить гипотезу об автокорроляции ошибок с помощью критерия Дарбина-Уотсона на уровне значимости 0,05 и 0,01.

Задание 3. Применение критерия Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции

Исходные данные:

Имеются данные, представленные в таблице 10 по периодам.

Задание

1. Построить уравнение авторегрессии следующего ви-

да:

Уt =а + b 0 х t + с 1* y t-1 + Ɛ t.

2.Проверить значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов.

3.Дать интерпретацию полученным значениям параметров уравнения.

4.Проверить наличие автокорреляции в остатках.

Задание 4. Применение критерия Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции

Исходные данные.

По данным за 12 месяцев было получено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия у (млн руб.) от цен на удобрения Х1 (тыс. руб. за 1 т) и топлива Х2 (тыс. руб. за 1 т): ряда Ŷ t = 500 -3,5Х1 + 450 Х2. При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в таблице 11.

t-1)2 .

2. Рассчитать критерий Дарбина - Уотсона.

98

3.Оценить полученный результат при 5% уровне значимости.

4.Сделать вывод о возможности применения уравнения для прогноза.

Задание 5. Применение критерия Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляции

По таблице критических точек Дарбина–Уотсона для уровня значимости α = 0,05 и α = 0,01 определите значения статистики, дающие основание отклонить гипотезу о наличии автокорреляции при объеме выборки n и числе объясняющих переменных m:

а) n = 20, m =2; б) n = 25, m = 1; в) n = 15, m = 3.

Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

99