573

Уравнение (11.1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неѐ силе, т. е.

где v – скорость точки M.

Считая массу постоянной, можно представить уравне-

Итак, уравнение (11.1) в проекции на ось τ даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной

Сокращая на m и полагая

будем окончательно иметь:

. (11.4)

Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонѐн от вертикали на угол φ0 и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

221

где V потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол φ ≤ φ0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол φ0 мал; тогда угол φ будет также мал и можно приближѐнно положить sin φ ≈ φ. При этом уравнение (11.4) примет вид

. (11.7)

Уравнение (11.7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (11.8)

где A и B или a и ε суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период T малых колебаний математического маятника (период промежуток времени, в течение которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

,

т.к. sin имеет период равный 2 , то ωT=2 , следовательно

Для нахождения закона движения при начальных условиях (11.5) вычисляем:

Подставляя значения (11.5) в уравнения (11.8) и (11.10), получим:

222

φ0 = A, 0 = ωB,

т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний будет:

матическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (11.4). Так как

где ω определяется равенством (11.3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и

Из уравнения (11.13) видно, что при движении маятника угол φ будет изменяться между значениями +φ0 и φ0 (|φ|<φ0, так как ̇ ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента про-

223

хождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рисунок 1). Тогда будем иметь начальное условие:

влекая из обеих частей равенства (11.13) квадратный корень, получим:

√ .

Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (11.16)

√

Так как

,

,

то

.

Подставляя этот результат в уравнение (11.16), получаем:

. (11.17)

√

Чтобы проинтегрировать уравнение (11.17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдѐм от переменной φ к новой переменнойα, полагая:

где . Тогда

,

откуда

.

√

224

Подставляя все эти величины в уравнение (11.17) и заменяя ω его значением (11.3), получим:

По принятым начальным условиям (11.15) при t=0 угол φ=0, а, следовательно, как видно из (11.18), и α=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (11.19) определѐнные интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до α, получим закон движения маятника в виде

Интеграл, стоящий в левой части равенства (11.20),

представляет собой эллиптический интеграл первого рода.

Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

Если в равенстве (11.21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

Беря от обеих частей равенства (11.22) синус, мы полу-

чим:

. (11.23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку,

согласно уравнению (11.20), u=√ , то, переходя в равенстве

225

(11.23) от α к φ с помощью формулы (11.18), найдѐм закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

√ . (11.24)

11.1.4. Период колебаний математического маятника в общем случае

Найдѐм период T колебания маятника. Из положения φ = 0 в положение φ = φ0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (11.18), при φ = 0 и = 0, а при φ = φ0 величина , то из уравнения (11.20) имеем:

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (11.21).

Известно (формула Валлиса), что

Разлагая в выражении (11.26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

.

√

Тогда, используя формулу (11.27), будем иметь:

Подставляя это значение K в равенство (11.25) и учитывая, что

226

, получим для периода колебаний плоского матема-

тического маятника выражение

Следовательно, чем больше φ0 (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (11.29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближѐнное выражение периода

Таким образом, получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для малых колебаний, закон движения маятника через эллиптическую функцию, а также выражение для периода колебаний маятника.

11.2. Задача о двойном математическом маятнике

В лагранжевой механике для описания системы исполь-

зуются обобщенные координаты и обобщенные скорости. В

нашем случае в качестве таких переменных можно взять уг-

Используя указанные переменные, построим лагранжиан двойного маятника и запишем дифференциальные уравнения Лагранжа. Упрощенная модель двойного маятника показана на рисунке 2. Будем считать стержни невесомыми. Их длины равны l1 и l2. Массы точечных тел (они представлены шарами конечного радиуса) составляют m1 и m2. В точках подвеса (шарнирах) трение отсутствует.

227

Введем систему координат Oxy, начало которой совпадает с точкой подвеса O. Координаты маятников определяются следующими соотношениями:

Следовательно,

228

̇

Входящие в эти уравнения частные производные выражаются следующими формулами:

̇ ̇

Следовательно, первое уравнение Лагранжа записывается как

229

Аналогично выведем второе дифференциальное уравне-

ние:

̇̇

̇̇