0721_Hairullina_Ekonometrika_ProdUroven_Praktik_2021
.pdfХ1, Х2, Х3…, Хm – независимые, объясняющие, факторные, экзогенные переменные (признак, фактор, регрессор);
ε – регрессионные остатки или стохастическая переменная, отражающая возможные неучтенные в модели факторы.
Линейная регрессионная модель с несколькими объясняющими переменными (Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР)) - уравнение вида:
Y = а0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 +… amXm + ε.
Множественная регрессия — один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах) на душу населения по муниципальным районам, тыс. руб. (далее CONS); факторы - средний размер назначенных пенсий, тыс. руб. (далее PENS); величина прожиточного минимума (в среднем на душу населения) (далее SUBMIN), тыс. руб. (таблица 31).
|
|
|
|
|
Таблица 31 |
|
Исходные данные для модели |
|
|||
Наблюдения |
|
CONS |
PENS |
|
SUBMIN |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
106,84 |
2,73 |
|
3,42 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
132,54 |
3,12 |
|
3,85 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
165,92 |
4,2 |
|
4,59 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
175,36 |
5,19 |
|
5,15 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
195,74 |
7,48 |
|
5,69 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
245,52 |
8,2 |
|
6,37 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
277,98 |
9,04 |
|
6,51 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
306,97 |
9,92 |
|
7,31 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
329,28 |
10,79 |
|
8,05 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
343,19 |
11,99 |
|
9,7 |
|
|
|
|
|
|
31
Таблица 32
Описательная статистика по данным
Показатель |
Среднее |
Медиана |
S.D. |
Min |
Max |
CONS |
221,9 |
220,6 |
84,34 |
106,8 |
343,2 |
PENS |
1,266 |
7,840 |
3,288 |
2,730 |
11,99 |
SUBMIN |
6,064 |
6,030 |
1, 945 |
3,420 |
9,700 |
Рисунок 4. Коробчатая диаграмма по данным
Рисунок 5. График нормального распределения данных
Требуется:
- рассчитать коэффициенты корреляции, используя таб-
лицы 33-34.
32
Таблица 33
Данные для построения модели
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
̂ |
̂ |
|
̂ ̅ |
|
̅ |
|
̅̅̅̅ |
|
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( − ) |
|
( − ) |
|
( − ) |
|
( − ) |
|
( − ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106,84 |
2,73 |
3,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132,54 |
3,12 |
3,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165,92 |
4,20 |
4,59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175,36 |
5,19 |
5,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195,74 |
7,48 |
5,69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245,52 |
8,20 |
6,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
277,98 |
9,04 |
6,51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
306,97 |
9,92 |
7,31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
329,28 |
10,79 |
8,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
343,19 |
11,99 |
9,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
2279,34 |
72,66 |
60,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сред- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет коэффициентов корреляции |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
Результат расчета |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
|
̅ |
̅ |
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
̅̅̅2 ̅2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
√( 1 |
− ( 1 )) √( − ( )) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
|
|
̅ |
̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅2 |
|
|
̅2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
√( − ( )) |
|
|
|||||||||||
|
|
√( 2 − ( 2 )) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |
|
|
̅̅̅ |
|
̅̅̅ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
− 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 2 |
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
√( 1 |
− ( 1 )) √( 2 − ( 2 )) |
|
|
||||||||||||||||||||
Справочно. Мультиколлинеарность – тесная (сильная) корреляционная связь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров. Если регрессоры в модели связаны строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Полная мультиколиннеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в результирующую переменную по результатам наблюдений.
Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Последствия мультиколлинеарностн:
-затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в чистом виде, так как факторы коррелированы;
-параметры линейной регрессии теряют экономический
смысл;
-увеличение дисперсий оценок параметров;
-уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости;
-получение неустойчивых оценок параметров модели и их дисперсий;
-оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.
-построить матрицу коэффициентов корреляции, таблица 35.
Таблица 35
Матрица коэффициентов корреляции
1 2
1
2
-по шкале Чеддока оценить тесноту связи.
-определить параметры, ао, а1 и а2 уравнения множественной линейной регрессии по системе уравнений:
35
Умножим первое уравнение на (-72,66) и прибавим ко второму, получим второе. Умножим третье уравнение на (-60,64) и прибавим к третьему, получим третье:
1 |
7,266 |
6,064 |
227,934 |
(0 |
97,318 |
56,068| 2453,756) |
|
0 |
56,068 |
34,050 1429,401 |
|
Делим второе уравнение на 97,318, получим:
1 |
7,266 |
6,064 |
227,934 |
(0 |
1 |
0,576 | |
25,214 ) |
0 |
56,068 |
34,050 1429,401 |
|
Умножим третье уравнение на (-56,068) и прибавим к тре-
тьему, получим третье: |
|
|
|
1 |
7,266 |
6,064 |
227,934 |
(0 |
1 |
0,576| 25,214 ) |
|
0 |
0 |
1,748 |
15,717 |
Разделим третье уравнение на 1,748, получим: |
|||
1 |
7,266 |
6,064 |
227,934 |
(0 |
1 |
0,576| 25,214 ) |
|
0 |
0 |
1 |
8,993 |
- составить уравнение в виде:
Y = а0 + a1X1 + a2X2 + ε.
Задание 3.2.2
Исходные данные. Используются данные о фактическом конечном потреблении домашних хозяйств (в текущих ценах) на душу населения по муниципальным районам, тыс. руб. (далее CONS); факторы - средний размер назначенных пенсий, тыс. руб. (далее PENS); величина прожиточного минимума (в среднем на душу населения) (далее SUBMIN), тыс. руб. из задания 3.2.1.
Относительными показателями силы связи в уравнении множественной регрессии являются частные коэффициенты
эластичности:
̅̅̅1= 1 ̅1.
36
̅̅̅
2 = 2 ̅2.
Требуется:
- дать количественную оценку частным коэффициентам эластичности.
Задание 3.2.3
Исходные данные. Используются данные о фактическом конечном потреблении домашних хозяйств (в текущих ценах) на душу населения по муниципальным районам, тыс. руб. (далее CONS); факторы - средний размер назначенных пенсий, тыс. руб. (далее PENS); величина прожиточного минимума (в среднем на душу населения) (далее SUBMIN), тыс. руб. из задания 3.2.1.
Требуется:
-рассчитать совокупный коэффициент множественной корреляции по формуле:
-определить расчетное значение критерия Фишера по
формуле:
|
2 |
|
− −1 |
Fфакт = |
|
. |
|
1−2 |
Сделать вывод о значимости уравнения в целом.
- оценить целесообразность включения фактора X1 после фактора Х2 с помощью частного F-критерия Фишера по формулам:
|
2 |
|
|
− 2 |
||
|
1 2 |
|
2 |
|||
Fx1 = |
|
|
* (n – 3). |
|||
1− 2 |
|
|||||
|
|
1 2 |
||||
|
2 |
|
− 2 |
|||
|
1 2 |
|
|
1 |
||
Fx2 = |
|
|
* (n – 3). |
|||
1− 2 |
|
|||||
|
|
1 2 |
||||
37
- провести оценку статистической значимости коэффициентов регрессии a1 и a2 по t-критерию (таблица 36) и сделать вывод.
Таблица 36
Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии
Формула |
Результат расчета |
√∑ ( − ̂)2
= =1
− − 1
21 = √∑=1( 1 − ̅̅̅1)2
2= 2 =1 2− 22
(1) = 1
1
2= 2 2
крит
Задание 3.2.4
Исходные данные. Имеются официальные статистические данные, представленные в таблице 37.
|
|
|
|
Таблица 37 |
|
|
|
Исходные данные для анализа |
|
||
|
ВВП, |
Среднемесячная начис- |
Инвестиции в |
Численность |
|
|
трлн |
ленная заработная |
основной капи- |
||
Год |
населения, |
||||
руб. |
плата работников, тыс. |
тал, млрд руб. |
|||
|
млн руб. (Х3) |
||||
|
(У) |
руб. (Х1) |
(Х2) |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2009 |
38,81 |
18,64 |
7,98 |
142,8 |
|
|
|
|
|
|
|
2010 |
46,31 |
20,95 |
9,15 |
142,9 |
|
2011 |
60,11 |
23,37 |
11,04 |
142,9 |
|
2012 |
68,10 |
26,63 |
12,59 |
143 |
|
|
|
|
|
|
|
2013 |
72,99 |
29,79 |
13,45 |
143,3 |
|
2014 |
79,03 |
32,50 |
13,90 |
143,7 |
|
2015 |
83,09 |
34,03 |
13,90 |
146,3 |
|
|
|
|
|
|
|
2016 |
85,62 |
36,71 |
14,75 |
146,5 |
|
2017 |
91,84 |
39,17 |
16,03 |
146,8 |
|
2018 |
104,63 |
43,72 |
17,78 |
146,9 |
|
|
|
|
|
|
|
2019 |
38,81 |
18,64 |
7,98 |
142,8 |
|
Требуется:
38
-рассчитать совокупный коэффициенты парной множественной корреляции;
-построить матрицу коэффициентов корреляции;
-по шкале Чеддока оценить тесноту связи;
-определить параметры, ао, а1, а2 , а3 уравнения множественной линейной регрессии;
-составить уравнение в виде:
Y = а0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 + ε;
определить расчетное значение критерия Фишера и сделать вывод о значимости уравнения в целом;
-оценить целесообразность включения фактора X1 после фактора Х2 с помощью частного F-критерия Фишера;
-провести оценку статистической значимости коэффициентов регрессии a1 и a2 по t-критерию и сделать вывод.
Задание 3.2.5
Исходные данные. Изучена зависимость среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников от уровня ВВП и инвестиций в основной капитал и получены следующие результаты:
|
|
|
|
Таблица 38 |
|
|
|
Исходные данные для анализа |
|
||
Пере- |
Среднее |
Среднее |
Коэффициент |
Уравнение |
|
квадратическое |
|||||
менная |
значение |
корреляции |
регрессии |
||
отклонение |
|||||
|
|
|
|
||
У |
30550,52 |
7766,37 |
Rx1x2 =0,986 |
Ŷ = 2053,489+ |
|
|
|
|
|
0,429X1 |
|
|
|
|
|
-0,218X2 |
|
X1 |
73052,52 |
19298,60 |
ryx1 = 0,987 |
Ŷ = 1543,647 |
|
|
|
|
|
0,397X1 |
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
13055,81 |
2845,33 |
ryx2 = 0,982, |
Ŷ= -4427,636+ |
|
|
|
|
rx1x2 = 0,995 |
2,679X2 |
|
Требуется:
- заполнить данные по таблице дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05;
39
Таблица 39
Дисперсионный анализ
|
Число |
Сумма |
Дисперсия |
F |
F |
|
Вариация у |
степеней |
квадратов |
на одну степень |
|||
|
|
|||||
|
свободы |
отклонений |
свободы |
факт |
крит |
|
Общая |
df=n-1=9 |
|
х |
х |
х |
|
Факторная |
k1=m=2 |
|
|
|
|
|
в том числе: |
|
|
|
|
|
|
Х1 |
1 |
|
|
|
|
|
Х2 |
1 |
|
|
|
|
|
Остаточная |
k2=n-m-1=7 |
|
|
х |
х |
-с помощью частных критериев Фишера оценить целесообразность включения х2 после х1;
-оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии;
-рассчитать стандартную ошибку регрессии;
-дать интервальную оценку значения коэффициента регрессии при факторе х1.
Задание 3.2.6
Исходные данные. Дана зависимость между доходами (x) и потреблением (у). В таблице 40 отражены данные за период
Таблица 40
Данные о доходах и потреблении
№ п/п |
х |
у |
Пол |
1 |
14,8 |
19,2 |
жен |
2 |
14 |
14 |
жен |
3 |
17,2 |
20 |
жен |
4 |
12 |
16 |
жен |
5 |
18,4 |
16,8 |
жен |
6 |
18,4 |
16,4 |
жен |
7 |
15,2 |
19,2 |
муж |
8 |
14,4 |
14 |
жен |
9 |
13,2 |
17,6 |
жен |
10 |
15,6 |
12 |
жен |
11 |
18,8 |
14,8 |
жен |
12 |
18,4 |
17,6 |
жен |
13 |
18,4 |
15,2 |
жен |
14 |
13,2 |
12,4 |
жен |
15 |
17,2 |
14,4 |
жен |
16 |
12,4 |
19,2 |
муж |
17 |
12,8 |
12 |
муж |
18 |
16,8 |
19,2 |
муж |
19 |
13,2 |
13,6 |
жен |
20 |
14 |
16,8 |
муж |
40