Электростатическое поле в вакууме
Теорема Гаусса
В декартовой системе координат divE |
E |
x |
Ey |
|
E |
z |
|||||||||||
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
||||
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
– дифференциальный оператор (набла), |
|||||||||
x |
y |
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
где x, y, z – орты осей X, Y, Z |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
– теорема Гаусса |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(дифференциальная форма) |
|
|
|||||||
Электростатическое поле в вакууме
Применение теоремы Гаусса
1) Поле равномерно заряженной плоскости
|
ΕdS 2E S |
q S |
|
||
|
S |
|
|
2E S S 0 |
|
E
q |
E |
E |
|
|
|
|
2 0 |
||
|
|
|
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Применение теоремы Гаусса
2) Поле двух параллельных плоскостей
E1 |
E1 |
E E1 E2 |
E1 |
E2 |
E2 |
E2 |
E |
|
|
||
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
E 0 |
E |
|
E 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Применение теоремы Гаусса
3) Поле равномерно заряженного цилиндра
|
ΕdS E2 r l |
q l |
|
|
E |
|
(r a) |
|
|
2 0r |
|||
l |
E 0 |
(r a) |
||
r |
||||
|
|
|
||
2a |
|
|
|
|
|
|
|
||
Электростатическое поле в вакууме
Применение теоремы Гаусса
4)Поле равномерно заряженной сферы
ΕdS E4 r2
E |
q |
(r a) |
4 0r2 |
||
E 0 |
(r a) |
|
|
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Теорема о циркуляции вектора E
q
1
q
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 Edr |
– работа поля по перемещению q = 1 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
в поле точечного заряда q |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
q |
|
2 |
rdr |
|
q |
|
2 rdr |
|
q |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
A12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
r3 |
4 |
|
r3 |
4 |
|
|
|
r |
||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
Если r1 = r2 , тогда
E dr 0 |
– теорема о циркуляции |
|
|
|
(интегральная форма) |
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Теорема о циркуляции вектора E
Таким образом, электростатическое поле – потенциальное поле
S1 Edr 0
n |
rot E |
S 0 |
S |
|
||
lim |
1 |
Edr (rot E) n |
||
|
||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
ротор |
|
|
|
|
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Теорема о циркуляции вектора E
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot E E |
|
|
|
|
|
|
|
в декартовой |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
системе координат |
|
|
|
Ex |
|
Ey |
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot E 0 |
– теорема о циркуляции |
|
(дифференциальная форма) |
|
|
Электростатическое поле в вакууме
Потенциал
2
Определение потенциала: 1 2 Edr
1
Потенциал – это потенциальная энергия q = 1
U |
, где U – потенциальная энергия заряда q |
q |
|
|
в электрическом поле |
Электростатическое поле в вакууме
Потенциал поля точечного заряда
Для поля точечного заряда (см. слайд 1):
|
|
q |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
r |
|||||
|
|
0 |
r |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
r2 |
|
2 0 (нормировка) |
|
|
|
1 |
q |
– потенциал поля точечного заряда |
|
|
|
|||
4 0 |
r |
|||
|
|
|||
|
|
|
|